Kalkulus Contoh

$y = {(x^{2} + 1)}^{\ln (x)}$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(x^{2} + 1)}^{\ln (x)}$ sebagai $e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(x^{2} + 1)}^{\ln (x)})$ dengan memindahkan $\ln (x)$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\ln (x) \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\ln (x) \ln (x^{2} + 1)]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \ln (x^{2} + 1)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x) (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ dan $\ln (x)$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.5

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1} (2 x) + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{\ln (x)}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x)}{x^{2} + 1} x + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 5.5.3

Gabungkan $\frac{2 \ln (x)}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 6

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \ln (x^{2} + 1) \frac{1}{x})$

Langkah 7

Gabungkan $\ln (x^{2} + 1)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x})$

Langkah 8

Untuk menuliskan $\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x})$

Langkah 9

Untuk menuliskan $\frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Langkah 10

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x^{2} + 1) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{2 \ln (x) x}{x^{2} + 1}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{(x^{2} + 1) x} + \frac{\ln (x^{2} + 1)}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1})$

Langkah 10.2

Kalikan $\frac{\ln (x^{2} + 1)}{x}$ dengan $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{(x^{2} + 1) x} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)})$

Langkah 10.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x^{2} + 1) x$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\frac{2 \ln (x) x \cdot x}{x (x^{2} + 1)} + \frac{\ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)})$

Langkah 11

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x \cdot x + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) (x^{1} x) + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 13

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) (x^{1} x^{1}) + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x^{1 + 1} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 15

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \frac{2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 16

Gabungkan $e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)}$ dan $\frac{2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1)}{x (x^{2} + 1)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)}$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (2 \ln (x) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 17.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.2.1.1

Sederhanakan $2 \ln (x)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 17.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) \cdot 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 17.2.1.3

Kalikan $\ln (x^{2} + 1)$ dengan $1$ .

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2} + \ln (x^{2} + 1) x^{2} + \ln (x^{2} + 1))}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 17.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 17.2.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2}) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} (\ln (x^{2} + 1) x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x \cdot x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 17.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.3.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{1} x^{2} + x \cdot 1}$

Langkah 17.3.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{1 + 2} + x \cdot 1}$

Langkah 17.3.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x \cdot 1}$

Langkah 17.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2}) + x^{2} e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x}$

Langkah 17.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (x^{2}) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} x^{2} \ln (x^{2} + 1) + e^{\ln (x) \ln (x^{2} + 1)} \ln (x^{2} + 1)}{x^{3} + x}$