Kalkulus Contoh

$f (x) = \arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$

Langkah 1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = \frac{30}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{30}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\arctan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{30}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.2

Karena $30$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{30}{x}$ terhadap $x$ adalah $30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.5

Kalikan $- 1$ dengan $30$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (- 30 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.6

Gabungkan $- 30$ dan $\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.7

Gabungkan $\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ dan $x^{- 2}$ .

$\frac{- 30 x^{- 2}}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.8

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \arctan (\frac{10}{x})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = \frac{10}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\arctan (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

Langkah 3.3

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{10}{x}$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 (- x^{- 2})))$

Langkah 3.6

Kalikan $- 1$ dengan $10$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (- 10 x^{- 2}))$

Langkah 3.7

Gabungkan $- 10$ dan $\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} x^{- 2})$

Langkah 3.8

Gabungkan $\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ dan $x^{- 2}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10 x^{- 2}}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$

Langkah 3.9

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Langkah 3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - - \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Langkah 3.11

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + 1 \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Langkah 3.12

Kalikan $\frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$ dengan $1$ .

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{30}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{10}{x}$ .

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Langkah 4.4

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.2

Naikkan $30$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.3

Gabungkan $\frac{900}{x^{2}}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.4.2

Bagilah $900$ dengan $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.6

Naikkan $10$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.7

Gabungkan $\frac{100}{x^{2}}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 4.5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 4.5.8.2

Bagilah $100$ dengan $1$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Langkah 4.5.9

Untuk menuliskan $- \frac{30}{x^{2} + 900}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

Langkah 4.5.10

Untuk menuliskan $\frac{10}{x^{2} + 100}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Langkah 4.5.11

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.11.1

Kalikan $\frac{30}{x^{2} + 900}$ dengan $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

Langkah 4.5.11.2

Kalikan $\frac{10}{x^{2} + 100}$ dengan $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.5.11.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ .

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.5.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 30 (x^{2} + 100) + 10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Faktorkan $10$ dari $10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Faktorkan $10$ dari $- 30 (x^{2} + 100)$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.1.2

Faktorkan $10$ dari $10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 3 \cdot 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.3

Kalikan $- 3$ dengan $100$ .

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.4

Kurangi $3 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 900 - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.5

Kurangi $300$ dengan $900$ .

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.6

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2} + 600$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{2}$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.6.2

Faktorkan $2$ dari $600$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 2 (300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.6.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- x^{2}) + 2 (300)$ .

$\frac{10 (2 (- x^{2} + 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

$\frac{10 \cdot 2 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.7.7

Kalikan $10$ dengan $2$ .

$\frac{20 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.8

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.9

Tulis kembali $300$ sebagai $- 1 (- 300)$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (- 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.10

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - 1 (- 300)$ .

$\frac{20 (- (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.11

Tulis kembali $- (x^{2} - 300)$ sebagai $- 1 (x^{2} - 300)$ .

$\frac{20 (- 1 (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

Langkah 4.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{20 (x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$