Kalkulus Contoh

$\sum_{n = 3}^{12} 20 {(0.5)}^{n - 1}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{n}$ dan $a_{n + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{20 \cdot {0.5}^{n + 1 - 1}}{20 \cdot {0.5}^{n - 1}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{20 \cdot {0.5}^{n + 1 - 1}}{20 \cdot {0.5}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{0.5}^{n + 1 - 1}}{{0.5}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${0.5}^{n + 1 - 1}$ dan ${0.5}^{n - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan ${0.5}^{n - 1}$ dari ${0.5}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{0.5}^{n - 1} \cdot {0.5}^{n + 0 - (n - 1)}}{{0.5}^{n - 1}}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{0.5}^{n - 1} \cdot {0.5}^{n + 0 - (n - 1)}}{{0.5}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{0.5}^{n - 1} \cdot {0.5}^{n + 0 - (n - 1)}}{{0.5}^{n - 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{{0.5}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Langkah 2.2.2.2.4

Bagilah ${0.5}^{n + 0 - (n - 1)}$ dengan $1$ .

$r = {0.5}^{n + 0 - (n - 1)}$

Langkah 2.2.3

Tambahkan $n$ dan $0$ .

$r = {0.5}^{n - (n - 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = {0.5}^{n - n - - 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$r = {0.5}^{n - n + 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $n$ dengan $n$ .

$r = {0.5}^{0 + 1}$

Langkah 2.2.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$r = {0.5}^{1}$

Langkah 2.2.7

Evaluasi eksponennya.

$r = 0.5$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3$ untuk $n$ ke dalam $20 {(0.5)}^{n - 1}$ .

$a = 20 \cdot {0.5}^{3 - 1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$a = 20 \cdot {0.5}^{2}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$a = 20 \cdot 0.25$

Langkah 3.2.3

Kalikan $20$ dengan $0.25$ .

$a = 5$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$5 \frac{1 - {0.5}^{10}}{1 - 1 \cdot 0.5}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Naikkan $0.5$ menjadi pangkat $10$ .

$5 \frac{1 - 1 \cdot 0.00097656}{1 - 1 \cdot 0.5}$

Langkah 5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.00097656$ .

$5 \frac{1 - 0.00097656}{1 - 1 \cdot 0.5}$

Langkah 5.1.3

Kurangi $0.00097656$ dengan $1$ .

$5 \frac{0.99902343}{1 - 1 \cdot 0.5}$

Langkah 5.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0.5$ .

$5 \frac{0.99902343}{1 - 0.5}$

Langkah 5.2.2

Kurangi $0.5$ dengan $1$ .

$5 (\frac{0.99902343}{0.5})$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $0.5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $0.5$ dari $5$ .

$0.5 (10) \frac{0.99902343}{0.5}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$0.5 \cdot 10 \frac{0.99902343}{0.5}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$10 \cdot 0.99902343$

Langkah 5.4

Kalikan $10$ dengan $0.99902343$ .

$9.99023437$