Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos (\arctan (\ln (x)))$

Langkah 1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gambar sebuah segitiga pada bidang datar dengan sudut $(1, \ln (x))$ , $(1, 0)$ , dan titik asal. Kemudian $\arctan (\ln (x))$ adalah sudut antara sumbu x positif dan sinar garis yang berawal dari titik asal, serta melewati $(1, \ln (x))$ . Oleh karena itu, $\cos (\arctan (\ln (x)))$ adalah $\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}}]$

Langkah 1.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{1 + \ln^{2} (x)}$ sebagai ${(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 1.3

Tulis kembali $\frac{1}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}}$ sebagai ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Langkah 1.4

Kalikan eksponen dalam ${({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Langkah 1.4.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1}{2}}]$

Langkah 1.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d}{d x} [{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 1 + \ln^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $1 + \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $1 + \ln^{2} (x)$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 6.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{2} {(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 7.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 7.2.2

Pindahkan ${(1 + \ln^{2} (x))}^{- \frac{3}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + \ln^{2} (x)]$

Langkah 7.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \ln^{2} (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Langkah 7.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Langkah 7.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Langkah 8

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 8.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 9

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 9.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Langkah 9.3

Gabungkan $\ln (x)$ dan $\frac{- 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot - 2}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 9.4

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $\ln (x)$ .

$\frac{- 2 \cdot \ln (x)}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 9.5

Faktorkan $2$ dari $- 2 \ln (x)$ .

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 10

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 ({(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- \ln (x))}{2 {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 12

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 13

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{\ln (x)}{{(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x {(1 + \ln^{2} (x))}^{\frac{3}{2}}}$