Kalkulus Contoh

$f (x) = x \ln (\arctan (x))$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (\arctan (x))$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (\arctan (x))] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \arctan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\arctan (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\arctan (x)$ .

$x (\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]) + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3

Gabungkan $\frac{1}{\arctan (x)}$ dan $x$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4

Turunan dari $\arctan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{x}{\arctan (x)}$ dengan $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x)) \cdot 1$

Langkah 5.3

Kalikan $\ln (\arctan (x))$ dengan $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) (1 + x^{2})} + \ln (\arctan (x))$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Langkah 6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $\arctan (x)$ dengan $1$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \ln (\arctan (x))$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $\ln (\arctan (x))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$ .

$\frac{x}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}} + \frac{\ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + \ln (\arctan (x)) (\arctan (x) + \arctan (x) x^{2})}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Langkah 6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{(\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}) \ln (\arctan (x)) + x}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$