Kalkulus Contoh

$y = (4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ dan $g (x) = e^{x^{3}}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{3}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{3}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.5

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.6

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.8

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.9

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.11

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Langkah 3.12

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + 0)$

Langkah 3.13

Tambahkan $12 x^{2} - 4 x + 8$ dan $0$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan sifat distributif.

$(4 x^{3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}}) (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Langkah 4.2

Terapkan sifat distributif.

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x^{3} e^{x^{3}} x^{2} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x^{3}) e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x^{2 + 3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.2.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} x^{2} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.4.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 (x^{2} x^{2}) e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2 + 2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.4.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.5

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x e^{x^{3}} x^{2} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.6

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.6.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x^{1}) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{2 + 1} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.6.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.7

Kalikan $3$ dengan $- 6$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Langkah 4.4.8

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 \cdot e^{x^{3}}$

Langkah 4.4.9

Pindahkan $e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 x^{2} e^{x^{3}} + 12 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

Langkah 4.4.10

Tambahkan $- 18 x^{2} e^{x^{3}}$ dan $12 x^{2} e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

Langkah 4.5

Susun kembali suku-suku.

$12 e^{x^{3}} x^{5} - 6 e^{x^{3}} x^{4} + 24 e^{x^{3}} x^{3} - 6 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x + 8 e^{x^{3}}$