Kalkulus Contoh

$f (x) = (4 x^{2} - x) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 4 x^{2} - x$ dan $g (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 12$ .

$(4 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 8 x^{2} + 12] + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 8 x^{2} + 12$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(4 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Langkah 2.3

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Langkah 2.5

Kalikan $2$ dengan $- 8$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [12]) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Langkah 2.6

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x + 0) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Langkah 2.7

Tambahkan $3 x^{2} - 16 x$ dan $0$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - x]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.11

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x + \frac{d}{d x} [- x])$

Langkah 2.12

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1 \cdot 1)$

Langkah 2.14

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $1$ dari $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1$ dari $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $1$ dari $(x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + 1 ((x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $1$ dari $1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x)) + 1 ((x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$ .

$1 ((4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1))$

Langkah 3.2

Kalikan $(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$ dengan $1$ .

$(4 x^{2} - x) (3 x^{2} - 16 x) + (x^{3} - 8 x^{2} + 12) (8 x - 1)$

Langkah 3.3

Susun kembali suku-suku.

$(3 x^{2} - 16 x) (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $(3 x^{2} - 16 x) (4 x^{2} - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} (4 x^{2} - x) - 16 x (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} (4 x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2} - x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 x^{2} (4 x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \cdot 4 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$3 \cdot 4 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 \cdot 4 x^{2 + 2} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$3 \cdot 4 x^{4} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$12 x^{4} + 3 x^{2} (- x) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{2} x - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 (x \cdot x^{2}) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 (x^{1} x^{2}) - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{1 + 2} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$12 x^{4} + 3 \cdot - 1 x^{3} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.6

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 x (4 x^{2}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.7

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x \cdot x^{2} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.8

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.8.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 (x^{2} x) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.8.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.8.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 (x^{2} x^{1}) - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x^{2 + 1} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.8.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 16 \cdot 4 x^{3} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.9

Kalikan $- 16$ dengan $4$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 x (- x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.10

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 x \cdot x + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.11

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.11.1

Pindahkan $x$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 (x \cdot x) + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.11.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} - 16 \cdot - 1 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.1.12

Kalikan $- 16$ dengan $- 1$ .

$12 x^{4} - 3 x^{3} - 64 x^{3} + 16 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.2.2

Kurangi $64 x^{3}$ dengan $- 3 x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + (8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$

Langkah 3.4.3

Perluas $(8 x - 1) (x^{3} - 8 x^{2} + 12)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 (x^{3} x) + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.1.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 (x^{3} x^{1}) + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3 + 1} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.1.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.3

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 (x^{2} x) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.3.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 (x^{2} x^{1}) + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x^{2 + 1} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 8 x^{3} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.4

Kalikan $8$ dengan $- 8$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 8 x \cdot 12 - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.5

Kalikan $12$ dengan $8$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - 1 x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.6

Tulis kembali $- 1 x^{3}$ sebagai $- x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} - 1 (- 8 x^{2}) - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.7

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} + 8 x^{2} - 1 \cdot 12$

Langkah 3.4.4.8

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 64 x^{3} + 96 x - x^{3} + 8 x^{2} - 12$

Langkah 3.4.5

Kurangi $x^{3}$ dengan $- 64 x^{3}$ .

$12 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{4} - 65 x^{3} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Langkah 3.5

Tambahkan $12 x^{4}$ dan $8 x^{4}$ .

$20 x^{4} - 67 x^{3} + 16 x^{2} - 65 x^{3} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Langkah 3.6

Kurangi $65 x^{3}$ dengan $- 67 x^{3}$ .

$20 x^{4} - 132 x^{3} + 16 x^{2} + 96 x + 8 x^{2} - 12$

Langkah 3.7

Tambahkan $16 x^{2}$ dan $8 x^{2}$ .

$20 x^{4} - 132 x^{3} + 24 x^{2} + 96 x - 12$