Kalkulus Contoh

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

Langkah 1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = \frac{9}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{9}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\arctan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{9}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{9}{x}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.5

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.6

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.7

Gabungkan $\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ dan $x^{- 2}$ .

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.8

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 2.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Langkah 3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = \frac{3}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\arctan (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Langkah 3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{x}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

Langkah 3.5

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

Langkah 3.6

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ dan $x^{- 2}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

Langkah 3.8

Pindahkan $x^{- 2}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Langkah 3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{9}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Langkah 4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Langkah 4.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Langkah 4.4

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.2

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.3

Gabungkan $\frac{81}{x^{2}}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.4.2

Bagilah $81$ dengan $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

Langkah 4.5.7

Gabungkan $\frac{9}{x^{2}}$ dan $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 4.5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Langkah 4.5.8.2

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Langkah 4.5.9

Untuk menuliskan $- \frac{9}{x^{2} + 81}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Langkah 4.5.10

Untuk menuliskan $- \frac{3}{x^{2} + 9}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Langkah 4.5.11

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.11.1

Kalikan $\frac{9}{x^{2} + 81}$ dengan $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Langkah 4.5.11.2

Kalikan $\frac{3}{x^{2} + 9}$ dengan $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

Langkah 4.5.11.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.5.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 9 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.1.2

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.3

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.4

Tambahkan $x^{2}$ dan $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.5

Tambahkan $81$ dan $27$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.6

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2} + 108$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.6.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.6.2

Faktorkan $4$ dari $108$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.6.3

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2} + 4 \cdot 27$ .

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.7.7

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Langkah 4.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$