Kalkulus Contoh

$f (x) = (x^{3} - 12 x) (3 x^{2} + 2 x)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{3} - 12 x$ dan $g (x) = 3 x^{2} + 2 x$ .

$(x^{3} - 12 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x] + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 2 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Langkah 2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{3} - 12 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(x^{3} - 12 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Langkah 2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Langkah 2.5

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2 \cdot 1) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Langkah 2.7

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x^{3} - 12 x]$

Langkah 2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 12 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x])$

Langkah 2.10

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12 \cdot 1)$

Langkah 2.12

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $1$ dari $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1$ dari $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2)$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $1$ dari $(3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $1$ dari $1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2)) + 1 ((3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$ .

$1 ((x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12))$

Langkah 3.2

Kalikan $(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ dengan $1$ .

$(x^{3} - 12 x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.3

Susun kembali suku-suku.

$(6 x + 2) (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $(6 x + 2) (x^{3} - 12 x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$6 x (x^{3} - 12 x) + 2 (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.1.2

Terapkan sifat distributif.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (- 12 x) + 2 (x^{3} - 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$6 x \cdot x^{3} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$6 (x^{3} x) + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2.1.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$6 (x^{3} x^{1}) + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 x^{3 + 1} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2.1.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$6 x^{4} + 6 x (- 12 x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2.3

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Pindahkan $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2.3.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$6 x^{4} + 6 \cdot - 12 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2.4

Kalikan $6$ dengan $- 12$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (- 12 x) + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.2.5

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + (3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.3

Perluas $(3 x^{2} + 2 x) (3 x^{2} - 12)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Terapkan sifat distributif.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2} - 12) + 2 x (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.3.2

Terapkan sifat distributif.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2} - 12)$

Langkah 3.4.3.3

Terapkan sifat distributif.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 (x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{2 + 2} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 3 \cdot 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 12 + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.4

Kalikan $- 12$ dengan $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 x (3 x^{2}) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.6

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.6.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.6.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2 + 1} + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.6.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{3} + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.7

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 6 x^{3} + 2 x \cdot - 12$

Langkah 3.4.4.8

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$6 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 9 x^{4} - 36 x^{2} + 6 x^{3} - 24 x$

Langkah 3.5

Tambahkan $6 x^{4}$ dan $9 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 72 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x - 36 x^{2} + 6 x^{3} - 24 x$

Langkah 3.6

Kurangi $36 x^{2}$ dengan $- 72 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 2 x^{3} - 24 x + 6 x^{3} - 24 x$

Langkah 3.7

Tambahkan $2 x^{3}$ dan $6 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 8 x^{3} - 24 x - 24 x$

Langkah 3.8

Kurangi $24 x$ dengan $- 24 x$ .

$15 x^{4} - 108 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x$