Kalkulus Contoh

$D x (\sqrt{5 x y})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5 x y}$ sebagai ${(5 x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [D x {(5 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $5$ dari $5 x y$ .

$\frac{d}{d x} [D x {(5 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 1.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 (x y)$ .

$\frac{d}{d x} [D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 1.3

Karena $D \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $D x (5^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}})$ terhadap $x$ adalah $D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x ({(x y)}^{\frac{1}{2}})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x]) + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 10

Gabungkan $y$ dan $\frac{x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12

Kalikan $\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Langkah 14

Kalikan ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + {(x y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $x y$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (\frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.3

Terapkan sifat distributif.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x}{2 (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.1

Pindahkan $y^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y x y^{- \frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.1

Kalikan $y$ dengan $y^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.1.1

Pindahkan $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.1.2

Kalikan $y^{- \frac{1}{2}}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2}} y^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + 1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.1.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.1.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.2

Kalikan $x$ dengan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.2.1

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.2.2

Kalikan $x^{- \frac{1}{2}}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.4.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.3.2.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$D \cdot 5^{\frac{1}{2}} \frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.4

Gabungkan $D$ dan $\frac{y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$5^{\frac{1}{2}} \frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.5

Gabungkan $5^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} (D (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}{2} + D \cdot 5^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Langkah 15.4.6

Susun kembali $D$ dan $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} \cdot D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 15.4.7

Untuk menuliskan $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 15.4.8

Gabungkan $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Langkah 15.4.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Langkah 15.4.10

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot (5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Langkah 15.4.11

Tambahkan $5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ dan $2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} D x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 15.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$

Langkah 15.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} D}{2}$ .

$\frac{3 D \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}{2}$