Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$

Langkah 1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{2} \arctan (5 x^{3})$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \arctan (5 x^{3})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \arctan (5 x^{3})$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (5 x^{3})] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = 5 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.2

Turunan dari $\arctan (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Faktorkan $5$ dari $5 x^{3}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + {(5 (x^{3}))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 (x^{3})$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 5^{2} {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.2.1.2

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 {(x^{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{3 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.2.1.3.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.2.2

Gabungkan $\frac{1}{1 + 25 x^{6}}$ dan $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.3

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.4

Gabungkan $5$ dan $\frac{x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} (3 x^{2}) + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{5 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{3 (5 x^{2})}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.6.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$2 (\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}} x^{2} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 4.6.3

Gabungkan $\frac{15 x^{2}}{1 + 25 x^{6}}$ dan $x^{2}$ .

$2 (\frac{15 x^{2} x^{2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$2 (\frac{15 (x^{2} x^{2})}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 (\frac{15 x^{2 + 2}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 5.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \arctan (5 x^{3}) (2 x))$

Langkah 7

Untuk menuliskan $\arctan (5 x^{3}) (2 x)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 + 25 x^{6}}{1 + 25 x^{6}}$ .

$2 (\frac{15 x^{4}}{1 + 25 x^{6}} + \frac{\arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}})$

Langkah 8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 \frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 9

Gabungkan $2$ dan $\frac{15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6})}{1 + 25 x^{6}}$ .

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (1 + 25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (15 x^{4} + \arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1 + \arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (15 x^{4}) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.1

Kalikan $15$ dengan $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x \cdot 1) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 (\arctan (5 x^{3}) x) + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x) (25 x^{6}))}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x^{6}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.5.1

Pindahkan $x^{6}$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x)) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.5.2

Kalikan $x^{6}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 (x^{6} x^{1})) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{6 + 1}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.5.3

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (\arctan (5 x^{3}) (2 x^{7}) \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.6

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (2 \arctan (5 x^{3}) x^{7} \cdot 25)}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.7

Kalikan $25$ dengan $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 2 (50 \arctan (5 x^{3}) x^{7})}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.1.8

Kalikan $50$ dengan $2$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $30 x^{4} + 4 \arctan (5 x^{3}) x + 100 \arctan (5 x^{3}) x^{7}$ .

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{1 + 25 x^{6}}$

Langkah 10.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{30 x^{4} + 4 x \arctan (5 x^{3}) + 100 x^{7} \arctan (5 x^{3})}{25 x^{6} + 1}$