Kalkulus Contoh

$f (x) = 5 x \sqrt[3]{x - 8}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x - 8}$ sebagai ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 1.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x - 8)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 8$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 8$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 7.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$5 (x (\frac{1}{3} {(x - 8)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$5 (x (\frac{{(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(x - 8)}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ dan $x$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 8] + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 8$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 11

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12.2

Kalikan $\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ dengan $1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1)$

Langkah 14

Kalikan ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 15

Untuk menuliskan ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 16

Gabungkan ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ dan $\frac{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 (\frac{x}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}})$

Langkah 17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 18

Kalikan ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ dengan ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 18.1

Pindahkan ${(x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3}} {(x - 8)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 18.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 18.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 18.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 18.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$5 \frac{x + {(x - 8)}^{1} \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan ${(x - 8)}^{1} \cdot 3$ .

$5 \frac{x + (x - 8) \cdot 3}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 19.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x - 8$ .

$5 \frac{x + 3 \cdot (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 20

Gabungkan $5$ dan $\frac{x + 3 (x - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{5 (x + 3 (x - 8))}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 (x + 3 x + 3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{5 x + 5 (3 x) + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{5 x + 15 x + 5 (3 \cdot - 8)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.3.1.2

Kalikan $5 (3 \cdot - 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.3.1.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 8$ .

$\frac{5 x + 15 x + 5 \cdot - 24}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.3.1.2.2

Kalikan $5$ dengan $- 24$ .

$\frac{5 x + 15 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.3.2

Tambahkan $5 x$ dan $15 x$ .

$\frac{20 x - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.4

Faktorkan $20$ dari $20 x - 120$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.4.1

Faktorkan $20$ dari $20 x$ .

$\frac{20 (x) - 120}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.4.2

Faktorkan $20$ dari $- 120$ .

$\frac{20 x + 20 \cdot - 6}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 21.4.3

Faktorkan $20$ dari $20 x + 20 \cdot - 6$ .

$\frac{20 (x - 6)}{3 {(x - 8)}^{\frac{2}{3}}}$