Kalkulus Contoh

$x^{2} - x - \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $x^{2} - x - \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x - \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Langkah 2.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x - \frac{1}{x} - 1$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x, 1, 1$

Langkah 3.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $2 x - \frac{1}{x} - 1 = 0$ dengan $x$ .

$2 x \cdot x - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$2 (x \cdot x) - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$2 x^{2} - \frac{1}{x} x - x = 0 x$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{2} + \frac{- 1}{x} x - x = 0 x$

Langkah 3.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x^{2} - 1 - x = 0 x$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$2 x^{2} - 1 - x = 0$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Susun kembali suku-suku.

$2 x^{2} - x - 1 = 0$

Langkah 3.4.1.2

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$2 x^{2} - (x) - 1 = 0$

Langkah 3.4.1.2.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $1$ ditambah $- 2$

$2 x^{2} + (1 - 2) x - 1 = 0$

Langkah 3.4.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1 = 0$

Langkah 3.4.1.2.4

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$2 x^{2} + x - 2 x - 1 = 0$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.3.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(2 x^{2} + x) - 2 x - 1 = 0$

Langkah 3.4.1.3.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$x (2 x + 1) - (2 x + 1) = 0$

Langkah 3.4.1.4

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x + 1$ .

$(2 x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 3.4.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 3.4.3

Atur $2 x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Atur $2 x + 1$ sama dengan $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Langkah 3.4.3.2

Selesaikan $2 x + 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 3.4.3.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.4.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.4.3.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 3.4.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 3.4.4

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 3.4.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3.4.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(2 x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = - \frac{1}{2}, 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- \frac{1}{2}, 1$ .

$- \frac{1}{2}, 1$

Langkah 5

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 7

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(- 0.5, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.25$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.25) = 2 (- 0.25) - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 - \frac{1}{- 0.25} - 1$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $1$ dengan $- 0.25$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f' (- 0.25) = - 0.5 + 4 - 1$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tambahkan $- 0.5$ dan $4$ .

$f' (- 0.25) = 3.5 - 1$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $3.5$ .

$f' (- 0.25) = 2.5$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2.5$ .

$2.5$

Langkah 9

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, 1)$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Langkah 10.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{\frac{1}{2}} - 1$

Langkah 10.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - (1 \cdot 2) - 1$

Langkah 10.2.1.3

Kalikan $- (1 \cdot 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 1 \cdot 2 - 1$

Langkah 10.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 1 - 2 - 1$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 - 1$

Langkah 10.2.2.2

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2$

Langkah 10.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 10.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- 2$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 1)$ .

Menurun pada $(0, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 11

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, 1), (1, \infty)$

Langkah 12

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 2 (2) - \frac{1}{2} - 1$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (2) = 4 - \frac{1}{2} - 1$

Langkah 12.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Tulis $4$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} - \frac{1}{2} - 1$

Langkah 12.2.2.2

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Langkah 12.2.2.3

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} - 1$

Langkah 12.2.2.4

Tulis $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Langkah 12.2.2.5

Kalikan $\frac{- 1}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 12.2.2.6

Kalikan $\frac{- 1}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 12.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (2) = \frac{4 \cdot 2 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 12.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.4.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Langkah 12.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{8 - 1 - 2}{2}$

Langkah 12.2.5

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.5.1

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$f' (2) = \frac{7 - 2}{2}$

Langkah 12.2.5.2

Kurangi $2$ dengan $7$ .

$f' (2) = \frac{5}{2}$

Langkah 12.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Langkah 12.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $\frac{5}{2}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 13

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(1, \infty)$

Menurun pada: $(0, 1)$

Langkah 14