Kalkulus Contoh

$f (x) = \cos^{3} (\frac{x}{x + 1})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \cos (\frac{x}{x + 1})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\cos (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\cos (\frac{x}{x + 1})$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{x + 1})]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\frac{x}{x + 1}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Langkah 2.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\frac{x}{x + 1}$ .

$3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (- \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Langkah 3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) (\sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1}) \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.5

Gabungkan $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ dan $- 3$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}} \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})$

Langkah 5.6.6

Gabungkan $\frac{- 3}{{(x + 1)}^{2}}$ dan $\cos^{2} (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}} \sin (\frac{x}{x + 1})$

Langkah 5.6.7

Gabungkan $\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$ dan $\sin (\frac{x}{x + 1})$ .

$\frac{- 3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3 \cos^{2} (\frac{x}{x + 1}) \sin (\frac{x}{x + 1})}{{(x + 1)}^{2}}$