Kalkulus Contoh

$y = \cos (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

Langkah 1.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 - e^{5 x}$ dan $g (x) = 1 + e^{5 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{5 x}] - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - e^{5 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) \frac{d}{d x} [- e^{5 x}] - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{5 x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $5 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $5 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 5.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x} \cdot 1) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 5.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 5.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{5 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 5.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{5 x}])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 5.7

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $5 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ adalah $a^{u_{3}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 6.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $5 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 7

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 7.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 7.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) (e^{5 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 7.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $e^{5 x}$ dengan $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}}) \frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 7.4.2

Gabungkan $\frac{(1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$ dan $\sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})$ .

$- \frac{((1 + e^{5 x}) (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 (1 - e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.2

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) + (- 5 \cdot 1 - 5 (- e^{5 x})) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.3

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{(1 (- 5 e^{5 x}) + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Kalikan $- 5 e^{5 x}$ dengan $1$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} + e^{5 x} (- 5 e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x} e^{5 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.3

Kalikan $e^{5 x}$ dengan $e^{5 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.3.1

Pindahkan $e^{5 x}$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 (e^{5 x} e^{5 x}) - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x + 5 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.3.3

Tambahkan $5 x$ dan $5 x$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 \cdot 1 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.4

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x}) e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.5

Kalikan $e^{5 x}$ dengan $e^{5 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.5.1

Pindahkan $e^{5 x}$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- (e^{5 x} e^{5 x}))) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{5 x + 5 x})) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.5.3

Tambahkan $5 x$ dan $5 x$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} - 5 (- e^{10 x})) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} + 5 e^{10 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.2

Gabungkan suku balikan dalam $- 5 e^{5 x} - 5 e^{10 x} - 5 e^{5 x} + 5 e^{10 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Tambahkan $- 5 e^{10 x}$ dan $5 e^{10 x}$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} + 0 - 5 e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.2.2

Tambahkan $- 5 e^{5 x}$ dan $0$ .

$- \frac{(- 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}) \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.4.3

Kurangi $5 e^{5 x}$ dengan $- 5 e^{5 x}$ .

$- \frac{- 10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- - \frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$

Langkah 8.5.3

Kalikan $\frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{10 e^{5 x} \sin (\frac{1 - e^{5 x}}{1 + e^{5 x}})}{{(1 + e^{5 x})}^{2}}$