Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} \log_{4} (3 - x)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \log_{4} (3 - x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\log_{4} (3 - x)] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \log_{4} (x)$ dan $g (x) = 3 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\log_{4} (u)] \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\log_{4} (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u \ln (4)}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 - x$ .

$x^{2} (\frac{1}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{(3 - x) \ln (4)}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [3 - x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \frac{d}{d x} [- x] + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- \frac{d}{d x} [x]) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} (- 1 \cdot 1) + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} \cdot - 1 + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.2

Gabungkan $\frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)}$ dan $- 1$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 1}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.3.2

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{(3 - x) \ln (4)} + \log_{4} (3 - x) (2 x)$

Langkah 3.9

Pindahkan $\log_{4} (- x + 3)$ .

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3)$

Langkah 4

Untuk menuliskan $2 x \log_{4} (- x + 3)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ .

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + 2 x \log_{4} (- x + 3) \cdot \frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$

Langkah 5

Gabungkan $2 x \log_{4} (- x + 3)$ dan $\frac{(- x + 3) \ln (4)}{(- x + 3) \ln (4)}$ .

$- \frac{x^{2}}{(- x + 3) \ln (4)} + \frac{2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) ((- x + 3) \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{(- x + 3) \ln (4)}$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} + 2 x \log_{4} (- x + 3) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Sederhanakan $2 \log_{4} (- x + 3)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + 3 \ln (4))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.3.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Sederhanakan $3 \ln (4)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (4^{3}))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.3.1.2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4) + \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) (- x \ln (4)) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) x + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{- x^{2} - \ln (4) (x \cdot x) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- x^{2} - \ln (4) x^{2} \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ .

$\frac{- x^{2} - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.5

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})$ .

$\frac{- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2}) - (x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}))$ .

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) + x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.7

Faktorkan $- 1$ dari $x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)$ .

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})) - (- x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ .

$\frac{- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.9

Tulis kembali $- (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ sebagai $- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- x \ln (4) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.10

Faktorkan $- 1$ dari $- x \ln (4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) + 3 \ln (4)}$

Langkah 7.11

Faktorkan $- 1$ dari $3 \ln (4)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))}$

Langkah 7.12

Faktorkan $- 1$ dari $- (x \ln (4)) - (- 3 \ln (4))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

Langkah 7.13

Tulis kembali $- (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ sebagai $- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

Langkah 7.14

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 (x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64))}{- 1 (x \ln (4) - 3 \ln (4))}$

Langkah 7.15

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) \ln (64)}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$

Langkah 7.16

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} + x^{2} \ln (4) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2}) - x \ln (64) \log_{4} ({(- x + 3)}^{2})}{x \ln (4) - 3 \ln (4)}$