Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 e^{2 x} + 1$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 3 e^{2 x} + 1$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 3 e^{2 y} + 1$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 e^{2 y} + 1 = x$ .

$3 e^{2 y} + 1 = x$

Langkah 3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 e^{2 y} = x - 1$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $3 e^{2 y} = x - 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $3 e^{2 y} = x - 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 e^{2 y}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $e^{2 y}$ dengan $1$ .

$e^{2 y} = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{2 y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{3}$

Langkah 3.4

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Langkah 3.5

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Perluas $\ln (e^{2 y})$ dengan memindahkan $2 y$ ke luar logaritma.

$2 y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Langkah 3.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Langkah 3.5.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$

Langkah 3.6

Bagi setiap suku pada $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Bagilah setiap suku di $2 y = \ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})$ dengan $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Langkah 3.6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$

Langkah 5.2.3

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{3 e^{2 x} + 1}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (\frac{1}{3} (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x} + 1) - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 e^{2 x}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 (e^{2 x})) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(\frac{1}{3} \cdot (3 e^{2 x}) + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.5.3

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.6

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1

Gabungkan suku balikan dalam $e^{2 x} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{1 - 1}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.6.1.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + \frac{0}{3})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.6.1.3

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.6.1.4

Tambahkan $e^{2 x}$ dan $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 5.2.6.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Langkah 5.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.6.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

Langkah 5.2.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

Langkah 5.2.6.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

Langkah 5.2.7

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $x$ keluar dari eksponen.

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

Langkah 5.2.8

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

Langkah 5.2.9

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{2 x} + 1) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2})} + 1$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Langkah 5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 1}{3})}{2})} + 1$

Langkah 5.3.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 e^{\ln (\frac{x - 1}{3})} + 1$

Langkah 5.3.3.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Langkah 5.3.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = 3 (\frac{x - 1}{3}) + 1$

Langkah 5.3.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x - 1 + 1$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $x - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x + 0$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$ merupakan balikan dari $f (x) = 3 e^{2 x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{3} - \frac{1}{3})}{2}$