Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Langkah 3.2

Kalikan kedua ruas dengan $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 2 e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Langkah 3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan $x (1 + 2 e^{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangkan $2 x e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $e^{y}$ dari $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Langkah 3.4.2.2

Faktorkan $e^{y}$ dari $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Langkah 3.4.2.3

Faktorkan $e^{y}$ dari $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Langkah 3.4.3

Bagi setiap suku pada $e^{y} (1 - 2 x) = x$ dengan $1 - 2 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah setiap suku di $e^{y} (1 - 2 x) = x$ dengan $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Langkah 3.4.3.2.1.2

Bagilah $e^{y}$ dengan $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Langkah 3.4.4

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Langkah 3.4.5

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Perluas $\ln (e^{y})$ dengan memindahkan $y$ ke luar logaritma.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Langkah 3.4.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Langkah 3.4.5.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Langkah 5.2.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Langkah 5.2.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{(2) e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Langkah 5.2.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}} - \frac{2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Langkah 5.2.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1 + 2 e^{x} - 2 e^{x}}{1 + 2 e^{x}}})$

Langkah 5.2.4.5

Susun kembali suku-suku.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}})$

Langkah 5.2.4.6

Tulis kembali $\frac{2 e^{x} + 1 - 2 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.6.1

Kurangi $2 e^{x}$ dengan $2 e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 e^{x} + 1}})$

Langkah 5.2.4.6.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 e^{x} + 1}})$

Langkah 5.2.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (1 (2 e^{x} + 1)))$

Langkah 5.2.6

Kalikan $2 e^{x} + 1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}} \cdot (2 e^{x} + 1))$

Langkah 5.2.7

Kalikan $\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ dengan $2 e^{x} + 1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{1 + 2 e^{x}})$

Langkah 5.2.8

Hapus faktor persekutuan dari $2 e^{x} + 1$ dan $1 + 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.8.1

Susun kembali suku-suku.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Langkah 5.2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (\frac{e^{x} (2 e^{x} + 1)}{2 e^{x} + 1})$

Langkah 5.2.8.3

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = \ln (e^{x})$

Langkah 5.2.9

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $x$ keluar dari eksponen.

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \ln (e)$

Langkah 5.2.10

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x \cdot 1$

Langkah 5.2.11

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x}))$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Langkah 5.3.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 e^{\ln (\frac{x}{1 - 2 x})}}$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + 2 (\frac{x}{1 - 2 x})}$

Langkah 5.3.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{1 + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Langkah 5.3.4.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} + \frac{2 x}{1 - 2 x}}$

Langkah 5.3.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}}$

Langkah 5.3.4.5

Tulis kembali $\frac{1 - 2 x + 2 x}{1 - 2 x}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.5.1

Tambahkan $- 2 x$ dan $2 x$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1 + 0}{1 - 2 x}}$

Langkah 5.3.4.5.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{\frac{1}{1 - 2 x}}$

Langkah 5.3.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Langkah 5.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 - 2 x)$

Langkah 5.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\ln (\frac{x}{1 - 2 x})) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{e^{x}}{1 + 2 e^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$