Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \sqrt{8 - 4 x}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \sqrt{8 - 4 y}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\sqrt{8 - 4 y} = x$ .

$\sqrt{8 - 4 y} = x$

Langkah 3.2

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${\sqrt{8 - 4 y}}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{8 - 4 y}$ sebagai ${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

${(8 - 4 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

${(8 - 4 y)}^{1} = x^{2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan.

$8 - 4 y = x^{2}$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 y = x^{2} - 8$

Langkah 3.4.2

Bagi setiap suku pada $- 4 y = x^{2} - 8$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 y = x^{2} - 8$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Langkah 3.4.2.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Langkah 3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8}{- 4}$

Langkah 3.4.2.3.1.2

Bagilah $- 8$ dengan $- 4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Langkah 4

Ganti $y$ dengan $f^{- 1} (x)$ untuk memunculkan jawaban akhir.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(\sqrt{8 - 4 x})}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $8 - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) - 4 x}}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2) + 4 (- x)}}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.1.3

Faktorkan $4$ dari $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{4 (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{\sqrt{2^{2} (2 - x)}}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.3

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{{(2 \sqrt{2 - x})}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{2 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{2^{2} {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {\sqrt{2 - x}}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.6

Tulis kembali ${\sqrt{2 - x}}^{2}$ sebagai $2 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2 - x}$ sebagai ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {({(2 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 {(2 - x)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.6.5

Sederhanakan.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.7

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 \cdot 2 + 4 (- x)}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.8

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 + 4 (- x)}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{8 - 4 x}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.10

Faktorkan $4$ dari $8 - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.10.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) - 4 x}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.10.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2) + 4 (- x)}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.1.10.3

Faktorkan $4$ dari $4 (2) + 4 (- x)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - \frac{4 (2 - x)}{4} + 2$

Langkah 5.2.3.2.2

Bagilah $2 - x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - (2 - x) + 2$

Langkah 5.2.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Langkah 5.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $- - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + 1 x + 2$

Langkah 5.2.3.5.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = - 2 + x + 2$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $- 2 + x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x + 0$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - 4 x}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $4$ dari $8 - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) - 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $4$ dari $- 4 (- \frac{x^{2}}{4} + 2)$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $4$ dari $4 (2) + 4 (- (- \frac{x^{2}}{4} + 2))$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 - (- \frac{x^{2}}{4} + 2))}$

Langkah 5.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 1 \cdot 2)}$

Langkah 5.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (2 + \frac{x^{2}}{4} - 2)}$

Langkah 5.3.5.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Langkah 5.3.5.3

Tambahkan $\frac{x^{2}}{4}$ dan $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Langkah 5.3.6

Gabungkan $4$ dan $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Langkah 5.3.7

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1

Kurangi pernyataan $\frac{4 x^{2}}{4}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Langkah 5.3.7.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Langkah 5.3.7.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Langkah 5.3.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$f (- \frac{x^{2}}{4} + 2) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$ merupakan balikan dari $f (x) = \sqrt{8 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{4} + 2$