Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ sebagai sebuah persamaan.

$y = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = 3 e^{\frac{1}{3} y + 1}$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ .

$3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $3 e^{\frac{1}{3} y + 1} = x$ dengan $3$ .

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 e^{\frac{1}{3} y + 1}}{3} = \frac{x}{3}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $e^{\frac{1}{3} y + 1}$ dengan $1$ .

$e^{\frac{1}{3} y + 1} = \frac{x}{3}$

Langkah 3.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y$ .

$e^{\frac{y}{3} + 1} = \frac{x}{3}$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{\frac{y}{3} + 1}) = \ln (\frac{x}{3})$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Perluas $\ln (e^{\frac{y}{3} + 1})$ dengan memindahkan $\frac{y}{3} + 1$ ke luar logaritma.

$(\frac{y}{3} + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Langkah 3.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$(\frac{y}{3} + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Langkah 3.4.3

Kalikan $\frac{y}{3} + 1$ dengan $1$ .

$\frac{y}{3} + 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Langkah 3.5

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y}{3} = \ln (\frac{x}{3}) - 1$

Langkah 3.6

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Langkah 3.7

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{y}{3} = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Langkah 3.7.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$

Langkah 3.7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Sederhanakan $3 (\ln (\frac{x}{3}) - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) + 3 \cdot - 1$

Langkah 3.7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$y = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ merupakan balikan dari $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk memverifikasi balikannya, periksa apakah $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Langkah 5.2

Evaluasi $f^{- 1} (f (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f^{- 1} (f (x))$

Langkah 5.2.2

Evaluasi $f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1})$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (\frac{3 e^{\frac{1}{3} x + 1}}{3}) - 3$

Langkah 5.2.3.1.2

Bagilah $e^{\frac{1}{3} x + 1}$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 \ln (e^{\frac{1}{3} x + 1}) - 3$

Langkah 5.2.3.2

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $\frac{1}{3} x + 1$ keluar dari eksponen.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{1}{3} x + 1) \ln (e)) - 3$

Langkah 5.2.3.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \ln (e)) - 3$

Langkah 5.2.3.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 ((\frac{x}{3} + 1) \cdot 1) - 3$

Langkah 5.2.3.5

Kalikan $\frac{x}{3} + 1$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3} + 1) - 3$

Langkah 5.2.3.6

Terapkan sifat distributif.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Langkah 5.2.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = 3 (\frac{x}{3}) + 3 \cdot 1 - 3$

Langkah 5.2.3.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 \cdot 1 - 3$

Langkah 5.2.3.8

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 3 - 3$

Langkah 5.2.4

Gabungkan suku balikan dalam $x + 3 - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x + 0$

Langkah 5.2.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$f^{- 1} (3 e^{\frac{1}{3} x + 1}) = x$

Langkah 5.3

Evaluasi $f (f^{- 1} (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis fungsi hasil komposit.

$f (f^{- 1} (x))$

Langkah 5.3.2

Evaluasi $f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3)$ dengan mensubstitusikan nilai (Variabel1) ke dalam (Variabel2).

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) + 1}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Sederhanakan $3 \ln (\frac{x}{3})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln ({(\frac{x}{3})}^{3}) - 3) + 1}$

Langkah 5.3.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x}{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{3^{3}}) - 3) + 1}$

Langkah 5.3.3.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot (\ln (\frac{x^{3}}{27}) - 3) + 1}$

Langkah 5.3.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\frac{1}{3} \cdot \ln (\frac{x^{3}}{27}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (\frac{x^{3}}{27})$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot - 3 + 1}$

Langkah 5.3.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 3$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1)) + 1}$

Langkah 5.3.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) + 1}$

Langkah 5.3.3.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln ({(\frac{x^{3}}{27})}^{\frac{1}{3}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x^{3}}{27}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x^{1}}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.2.2

Sederhanakan.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{27^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.3.1

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{3}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.3.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{3 (\frac{1}{3})}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3^{1}}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.3.5.3.4

Evaluasi eksponennya.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1}$

Langkah 5.3.4

Gabungkan suku balikan dalam $\ln (\frac{x}{3}) - 1 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3}) + 0}$

Langkah 5.3.4.2

Tambahkan $\ln (\frac{x}{3})$ dan $0$ .

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Langkah 5.3.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Langkah 5.3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = 3 (\frac{x}{3})$

Langkah 5.3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (3 \ln (\frac{x}{3}) - 3) = x$

Langkah 5.4

Karena $f^{- 1} (f (x)) = x$ dan $f (f^{- 1} (x)) = x$ , maka $f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$ merupakan balikan dari $f (x) = 3 e^{\frac{1}{3} x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 3 \ln (\frac{x}{3}) - 3$