Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Langkah 1

Tuliskan $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ sebagai sebuah persamaan.

$y = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$

Langkah 2

Saling tukar variabel.

$x = \frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$ .

$\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20 = x$

Langkah 3.2

Sederhanakan $\frac{1}{3} + 2 y^{2} - 12 y - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menuliskan $- 20$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} = x$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $- 20$ dan $\frac{3}{3}$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} = x$

Langkah 3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 20 \cdot 3}{3} = x$

Langkah 3.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.4.1

Kalikan $- 20$ dengan $3$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{1 - 60}{3} = x$

Langkah 3.2.4.2

Kurangi $60$ dengan $1$ .

$2 y^{2} - 12 y + \frac{- 59}{3} = x$

Langkah 3.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} = x$

Langkah 3.3

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y^{2} - 12 y - \frac{59}{3} - x = 0$

Langkah 3.4

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $3$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (2 y^{2}) + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 y^{2} + 3 (- 12 y) + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $- 12$ dengan $3$ .

$6 y^{2} - 36 y + 3 (- \frac{59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Langkah 3.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{59}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Langkah 3.4.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 y^{2} - 36 y + 3 (\frac{- 59}{3}) + 3 (- x) = 0$

Langkah 3.4.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 y^{2} - 36 y - 59 + 3 (- x) = 0$

Langkah 3.4.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$6 y^{2} - 36 y - 59 - 3 x = 0$

Langkah 3.4.3

Pindahkan $- 59$ .

$6 y^{2} - 36 y - 3 x - 59 = 0$

Langkah 3.4.4

Pindahkan $- 36 y$ .

$6 y^{2} - 3 x - 36 y - 59 = 0$

Langkah 3.5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.6

Substitusikan nilai-nilai $a = 6$ , $b = - 36$ , dan $c = - 3 x - 59$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{36 \pm \sqrt{{(- 36)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot (- 3 x - 59))}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Naikkan $- 36$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.5

Kalikan $- 24$ dengan $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.6

Tambahkan $1296$ dan $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.7

Faktorkan $24$ dari $72 x + 2712$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.7.1

Faktorkan $24$ dari $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.7.2

Faktorkan $24$ dari $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.7.3

Faktorkan $24$ dari $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.8

Tulis kembali $24 (3 x + 113)$ sebagai $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.8.1

Faktorkan $4$ dari $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.8.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.8.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.1.9

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Langkah 3.8

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Naikkan $- 36$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.5

Kalikan $- 24$ dengan $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.6

Tambahkan $1296$ dan $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.7

Faktorkan $24$ dari $72 x + 2712$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.7.1

Faktorkan $24$ dari $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.7.2

Faktorkan $24$ dari $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.7.3

Faktorkan $24$ dari $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.8

Tulis kembali $24 (3 x + 113)$ sebagai $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.8.1

Faktorkan $4$ dari $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.8.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.8.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.1.9

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.8.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Langkah 3.8.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Langkah 3.9

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Naikkan $- 36$ menjadi pangkat $2$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 4 \cdot 6 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $6$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 \cdot (- 3 x - 59)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 - 24 (- 3 x) - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $- 24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x - 24 \cdot - 59}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.5

Kalikan $- 24$ dengan $- 59$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{1296 + 72 x + 1416}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.6

Tambahkan $1296$ dan $1416$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{72 x + 2712}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.7

Faktorkan $24$ dari $72 x + 2712$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.7.1

Faktorkan $24$ dari $72 x$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 2712}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.7.2

Faktorkan $24$ dari $2712$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x) + 24 (113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.7.3

Faktorkan $24$ dari $24 (3 x) + 24 (113)$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{24 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.8

Tulis kembali $24 (3 x + 113)$ sebagai $2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.8.1

Faktorkan $4$ dari $24$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{4 (6) (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.8.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.8.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{36 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (6 (3 x + 113))}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.1.9

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{2 \cdot 6}$

Langkah 3.9.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$y = \frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan $\frac{36 \pm 2 \sqrt{6 (3 x + 113)}}{12}$ .

$y = \frac{18 \pm \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Langkah 3.9.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Langkah 3.10

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

$y = \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Langkah 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Langkah 5

Periksa apakah $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Domain dari balikan adalah daerah hasil dari fungsi asal dan sebaliknya. Tentukan domain dan daerah hasil dari $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ dan $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ dan bandingkan.

Langkah 5.2

Tentukan daerah hasil dari $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Langkah 5.3

Tentukan domain dari $\frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{6 (3 x + 113)}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$6 (3 x + 113) \geq 0$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Bagi setiap suku pada $6 (3 x + 113) \geq 0$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Bagilah setiap suku di $6 (3 x + 113) \geq 0$ dengan $6$ .

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Langkah 5.3.2.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 (3 x + 113)}{6} \geq \frac{0}{6}$

Langkah 5.3.2.1.2.1.2

Bagilah $3 x + 113$ dengan $1$ .

$3 x + 113 \geq \frac{0}{6}$

Langkah 5.3.2.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $6$ .

$3 x + 113 \geq 0$

Langkah 5.3.2.2

Kurangkan $113$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$3 x \geq - 113$

Langkah 5.3.2.3

Bagi setiap suku pada $3 x \geq - 113$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x \geq - 113$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Langkah 5.3.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{- 113}{3}$

Langkah 5.3.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{- 113}{3}$

Langkah 5.3.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x \geq - \frac{113}{3}$

Langkah 5.3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

$[- \frac{113}{3}, \infty)$

Langkah 5.4

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

$(- \infty, \infty)$

Langkah 5.5

Karena domain dari $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ adalah daerah hasil dari $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ dan daerah hasil dari $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ adalah domain dari $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ , maka $f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$ merupakan balikan dari $f (x) = \frac{1}{3} + 2 x^{2} - 12 x - 20$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{18 + \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}, \frac{18 - \sqrt{6 (3 x + 113)}}{6}$

Langkah 6