Kalkulus Contoh

$f (x) = (3 x^{2} - 2 x + 5) (4 x^{2} + 3 x - 1)$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ dan $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1] + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} + 3 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + 0) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.9

Tambahkan $8 x + 3$ dan $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

Langkah 2.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 2 x + 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 2.11

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 2.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 2.13

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 2.14

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 2.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 2.16

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [5])$

Langkah 2.17

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + 0)$

Langkah 2.18

Tambahkan $6 x - 2$ dan $0$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $1$ dari $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $1$ dari $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $1$ dari $(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $1$ dari $1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$ .

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

Langkah 3.2

Kalikan $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ dengan $1$ .

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Perluas $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$3 x^{2} (8 x) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \cdot 8 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$3 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 \cdot 8 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$3 \cdot 8 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.3

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$24 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.6.1

Pindahkan $x$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.7

Kalikan $- 2$ dengan $8$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.8

Kalikan $3$ dengan $- 2$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.9

Kalikan $8$ dengan $5$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.2.10

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.3

Kurangi $16 x^{2}$ dengan $9 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.4

Tambahkan $- 6 x$ dan $40 x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

Langkah 3.3.5

Perluas $(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 x^{2} (6 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.2.1

Pindahkan $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.3

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.4

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.6.6.1

Pindahkan $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.7

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.8

Kalikan $- 2$ dengan $3$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.9

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 2$

Langkah 3.3.6.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

Langkah 3.3.7

Tambahkan $- 8 x^{2}$ dan $18 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

Langkah 3.3.8

Kurangi $6 x$ dengan $- 6 x$ .

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 2$

Langkah 3.4

Tambahkan $24 x^{3}$ dan $24 x^{3}$ .

$48 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 10 x^{2} - 12 x + 2$

Langkah 3.5

Tambahkan $- 7 x^{2}$ dan $10 x^{2}$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 34 x + 15 - 12 x + 2$

Langkah 3.6

Kurangi $12 x$ dengan $34 x$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 15 + 2$

Langkah 3.7

Tambahkan $15$ dan $2$ .

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 17$