Kalkulus Contoh

$f (t) = {(t + 5)}^{2} e^{4 t}$

Langkah 1

Tulis kembali ${(t + 5)}^{2}$ sebagai $(t + 5) (t + 5)$ .

$\frac{d}{d t} [(t + 5) (t + 5) e^{4 t}]$

Langkah 2

Perluas $(t + 5) (t + 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d t} [(t (t + 5) + 5 (t + 5)) e^{4 t}]$

Langkah 2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d t} [(t \cdot t + t \cdot 5 + 5 (t + 5)) e^{4 t}]$

Langkah 2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d t} [(t \cdot t + t \cdot 5 + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Langkah 3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Kalikan $t$ dengan $t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + t \cdot 5 + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Langkah 3.1.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 5 \cdot t + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

Langkah 3.1.3

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 5 t + 5 t + 25) e^{4 t}]$

Langkah 3.2

Tambahkan $5 t$ dan $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}]$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = t^{2} + 10 t + 25$ dan $g (t) = e^{4 t}$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [e^{4 t}] + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Langkah 5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = 4 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 t$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Langkah 5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 t$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Langkah 6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Langkah 6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} (4 \cdot 1) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Langkah 6.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} \cdot 4 + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Langkah 6.3.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}$ .

$4 \cdot ((t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

Langkah 6.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} + 10 t + 25$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])$

Langkah 6.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])$

Langkah 6.6

Karena $10$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $10 t$ terhadap $t$ adalah $10 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])$

Langkah 6.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])$

Langkah 6.8

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])$

Langkah 6.9

Karena $25$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $25$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 + 0)$

Langkah 6.10

Tambahkan $2 t + 10$ dan $0$ .

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$(4 t^{2} + 4 (10 t) + 4 \cdot 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$4 t^{2} e^{4 t} + 4 (10 t) e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

Langkah 7.3

Terapkan sifat distributif.

$4 t^{2} e^{4 t} + 4 (10 t) e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Langkah 7.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Kalikan $10$ dengan $4$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Langkah 7.4.2

Kalikan $4$ dengan $25$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

Langkah 7.4.3

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + 10 \cdot e^{4 t}$

Langkah 7.4.4

Tambahkan $40 t e^{4 t}$ dan $e^{4 t} (2 t)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.4.1

Pindahkan $e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 2 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + 10 e^{4 t}$

Langkah 7.4.4.2

Tambahkan $40 t e^{4 t}$ dan $2 t e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + 10 e^{4 t}$

Langkah 7.4.5

Tambahkan $100 e^{4 t}$ dan $10 e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 110 e^{4 t}$

Langkah 7.5

Susun kembali suku-suku.

$4 e^{4 t} t^{2} + 42 e^{4 t} t + 110 e^{4 t}$

Langkah 7.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $4 e^{4 t} t^{2} + 42 e^{4 t} t + 110 e^{4 t}$ .

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 110 e^{4 t}$