Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{4 x - 1}{x^{2} + 1}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 4 x - 1$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1] - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.4

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (4 + 0) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 4 - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.6.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x^{2} + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} + 1) - (4 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.9

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - (4 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 1) - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot 1 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x) x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 2 (4 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.3

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 - 8 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.4.2

Kurangi $8 x^{2}$ dengan $4 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 4 x^{2} + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6

Faktorkan $2$ dari $- 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 (x) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- 2 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.6.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- 2 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{2} + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.8

Faktorkan $- 1$ dari $x$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2}) - 1 (- x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.9

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.10

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.11

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{2} - x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{2 (- (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.12

Tulis kembali $- (2 x^{2} - x - 2)$ sebagai $- 1 (2 x^{2} - x - 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x^{2} - x - 2))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 3.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2 (2 x^{2} - x - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$