Kalkulus Contoh

$3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$

Langkah 1

Faktorkan $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 3$

Langkah 1.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 24, \pm 8, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 12, \pm 4, \pm 3, \pm 2.\overline{6}, \pm 1.\overline{3}, \pm 6$

Langkah 1.3

Substitusikan $2$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $2$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $2$ ke dalam polinomialnya.

$3 \cdot 2^{3} - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Langkah 1.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$3 \cdot 8 - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$24 - 2^{2} - 22 \cdot 2 + 24$

Langkah 1.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$24 - 1 \cdot 4 - 22 \cdot 2 + 24$

Langkah 1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$24 - 4 - 22 \cdot 2 + 24$

Langkah 1.3.6

Kurangi $4$ dengan $24$ .

$20 - 22 \cdot 2 + 24$

Langkah 1.3.7

Kalikan $- 22$ dengan $2$ .

$20 - 44 + 24$

Langkah 1.3.8

Kurangi $44$ dengan $20$ .

$- 24 + 24$

Langkah 1.3.9

Tambahkan $- 24$ dan $24$ .

$0$

Langkah 1.4

Karena $2$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x - 2$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24}{x - 2}$

Langkah 1.5

Bagilah $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ dengan $x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$22 x$

$24$

Langkah 1.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $3 x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$3 x^{2}$
	$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$

Langkah 1.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			+	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Langkah 1.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $3 x^{3} - 6 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Langkah 1.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$

Langkah 1.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x^{2}$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$

Langkah 1.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $5 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$

Langkah 1.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					+	$5 x^{2}$	-	$10 x$

Langkah 1.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $5 x^{2} - 10 x$

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$

Langkah 1.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$

Langkah 1.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Langkah 1.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 12 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$

Langkah 1.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							-	$12 x$	+	$24$

Langkah 1.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 12 x + 24$

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$

Langkah 1.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$12$
$x$	-	$2$		$3 x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$22 x$	+	$24$
			-	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$
					+	$5 x^{2}$	-	$22 x$
					-	$5 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$12 x$	+	$24$
							+	$12 x$	-	$24$
										$0$

Langkah 1.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$3 x^{2} + 5 x - 12$

Langkah 1.6

Tulis $3 x^{3} - x^{2} - 22 x + 24$ sebagai himpunan faktor.

$(x - 2) (3 x^{2} + 5 x - 12)$

Langkah 2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ dan yang jumlahnya adalah $b = 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Faktorkan $5$ dari $5 x$ .

$(x - 2) (3 x^{2} + 5 (x) - 12)$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali $5$ sebagai $- 4$ ditambah $9$

$(x - 2) (3 x^{2} + (- 4 + 9) x - 12)$

Langkah 2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(x - 2) (3 x^{2} - 4 x + 9 x - 12)$

Langkah 2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(x - 2) ((3 x^{2} - 4 x) + 9 x - 12)$

Langkah 2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(x - 2) (x (3 x - 4) + 3 (3 x - 4))$

Langkah 2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 4$ .

$(x - 2) ((3 x - 4) (x + 3))$

Langkah 2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$(x - 2) (3 x - 4) (x + 3)$