Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ tidak terdefinisi.

$x = - 8, x = 8$

Langkah 2

Karena $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 8$ dari kiri dan $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 8$ dari kanan, maka $x = - 8$ adalah asimtot tegak.

$x = - 8$

Langkah 3

Karena $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $8$ dari kiri dan $\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $8$ dari kanan, maka $x = 8$ adalah asimtot tegak.

$x = 8$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 8, 8$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tulis kembali $64$ sebagai $8^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{8^{2} - x^{2}}$

Langkah 8.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 8$ dan $b = x$ .

$\frac{x^{3}}{(8 + x) (8 - x)}$

Langkah 8.2

Perluas $(8 + x) (8 - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{8 (8 - x) + x (8 - x)}$

Langkah 8.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)}$

Langkah 8.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)}$

Langkah 8.2.4

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + x \cdot 8 + x (- x)}$

Langkah 8.2.5

Susun kembali $x$ dan $8$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 \cdot x + x (- x)}$

Langkah 8.2.6

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 \cdot x + x \cdot (- 1 x)}$

Langkah 8.2.7

Susun kembali $x$ dan $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 \cdot (x \cdot x)}$

Langkah 8.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $x$ .

$\frac{x^{3}}{8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 x \cdot x}$

Langkah 8.2.9

Kalikan $8$ dengan $8$ .

$\frac{x^{3}}{64 + 8 \cdot (- 1 x) + 8 x - 1 x \cdot x}$

Langkah 8.2.10

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - 1 x \cdot x}$

Langkah 8.2.11

Buang faktor negatif.

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Langkah 8.2.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Langkah 8.2.13

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)}$

Langkah 8.2.14

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - x^{1 + 1}}$

Langkah 8.2.15

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3}}{64 - 8 x + 8 x - x^{2}}$

Langkah 8.2.16

Tambahkan $- 8 x$ dan $8 x$ .

$\frac{x^{3}}{64 + 0 - x^{2}}$

Langkah 8.2.17

Kurangi $x^{2}$ dengan $0$ .

$\frac{x^{3}}{64 - x^{2}}$

Langkah 8.2.18

Susun kembali $64$ dan $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 64}$

Langkah 8.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 8.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $- x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 8.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Langkah 8.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 - 64 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Langkah 8.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

Langkah 8.8

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$64$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$64 x$

$0$

Langkah 8.9

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$- x + \frac{64 x}{- x^{2} + 64}$

Langkah 8.10

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = - x$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 8, 8$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = - x$

Langkah 10