Kalkulus Contoh

$g (x) = \frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$

Langkah 1

Tentukan di mana pernyataan $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ tidak terdefinisi.

$x = - 7, x = 7$

Langkah 2

Karena $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $- 7$ dari kiri dan $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $- 7$ dari kanan, maka $x = - 7$ adalah asimtot tegak.

$x = - 7$

Langkah 3

Karena $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ $\to$ $- \infty$ ketika $x$ $\to$ $7$ dari kiri dan $\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$ $\to$ $\infty$ ketika $x$ $\to$ $7$ dari kanan, maka $x = 7$ adalah asimtot tegak.

$x = 7$

Langkah 4

Sebutkan semua asimtot tegaknya:

$x = - 7, 7$

Langkah 5

Mempertimbangkan fungsi rasional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ di mana $n$ merupakan derajat dari pembilangnya dan $m$ merupakan derajat dari penyebutnya.

1. Jika $n < m$ , maka sumbu-x, $y = 0$ , adalah asimtot datar.

2. Jika $n = m$ , maka asimtot datarnya adalah garis $y = \frac{a}{b}$ .

3. Jika $n > m$ , maka tidak ada asimtot datar (ada sebuah asimstot miring).

Langkah 6

Temukan $n$ dan $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Langkah 7

Karena $n > m$ , tidak ada asimtot datar.

Tidak Ada Asimtot Datar

Langkah 8

Tentukan asimtot miring menggunakan pembagian polinomial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 7^{2}}$

Langkah 8.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 7$ .

$\frac{x^{3}}{(x + 7) (x - 7)}$

Langkah 8.2

Perluas $(x + 7) (x - 7)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{x (x - 7) + 7 (x - 7)}$

Langkah 8.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 (x - 7)}$

Langkah 8.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Langkah 8.2.4

Susun kembali $x$ dan $- 7$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Langkah 8.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Langkah 8.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Langkah 8.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Langkah 8.2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7}$

Langkah 8.2.9

Kalikan $7$ dengan $- 7$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 7 x + 7 x - 49}$

Langkah 8.2.10

Tambahkan $- 7 x$ dan $7 x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} + 0 - 49}$

Langkah 8.2.11

Kurangi $49$ dengan $0$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 49}$

Langkah 8.3

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 8.4

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Langkah 8.5

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$49 x$

Langkah 8.6

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + 0 - 49 x$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$49 x$

Langkah 8.7

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$49 x$

Langkah 8.8

Mengeluarkan suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$49$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$49 x$

$0$

Langkah 8.9

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$x + \frac{49 x}{x^{2} - 49}$

Langkah 8.10

Asimtot miring adalah bagian polinomial dari hasil pembagian panjang.

$y = x$

Langkah 9

Ini adalah himpunan semua asimtot.

Asimtot Tegak: $x = - 7, 7$

Tidak Ada Asimtot Datar

Asimtot Miring: $y = x$

Langkah 10