Kalkulus Contoh

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

Langkah 1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

Langkah 2

Biarkan $u_{1} = 2 x + 3$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u_{1} = 2 x + 3$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $2 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Langkah 2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${u_{1}}^{- 0.5}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

Langkah 3.2

Pindahkan ${u_{1}}^{- 0.5}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

Langkah 4

Biarkan $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Kemudian $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ sehingga ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

Langkah 4.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 {u_{1}}^{0.5}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 0.5$ .

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

Langkah 4.1.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Kalikan $0.5$ dengan $2$ .

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

Langkah 4.1.4.2

Kalikan ${u_{1}}^{- 0.5}$ dengan $1$ .

${u_{1}}^{- 0.5}$

Langkah 4.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

Langkah 4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ sebagai hasil kali.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.2

Kalikan $\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 5.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $3$ .

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Langkah 9.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

Langkah 10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

Langkah 13

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

Langkah 14

Sederhanakan.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

Langkah 15

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 {u_{1}}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

Langkah 15.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x + 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.1.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.1.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.1.1.3.2

Kalikan $0.5$ dengan $3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.2

Untuk menuliskan $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

Langkah 16.3

Gabungkan $- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

Langkah 16.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Langkah 16.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

Langkah 16.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

Langkah 16.6

Kalikan $3$ dengan $- 6$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.7

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.8.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.8.2

Faktorkan $2$ dari $2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.10.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.10.2

Faktorkan $2$ dari $- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.10.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

Langkah 16.10.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

Langkah 16.11

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Langkah 16.12

Gabungkan $\frac{- 9}{2}$ dan ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Langkah 16.13

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Langkah 16.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.14.1

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{0.5}$ dari ${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.14.1.1

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{0.5}$ dari ${(2 x + 3)}^{1.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

Langkah 16.14.1.2

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{0.5}$ dari $- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

Langkah 16.14.1.3

Faktorkan ${(2 x + 3)}^{0.5}$ dari ${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

Langkah 16.14.2

Kurangi $9$ dengan $3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

Langkah 16.14.3

Faktorkan $2$ dari $2 x - 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.14.3.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

Langkah 16.14.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 6$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

Langkah 16.14.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Langkah 16.15

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.15.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

Langkah 16.15.2

Bagilah ${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ dengan $1$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

Langkah 16.16

Terapkan sifat distributif.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

Langkah 16.17

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri ${(2 x + 3)}^{0.5}$ .

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

Langkah 16.18

Susun kembali faktor-faktor dalam ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ .

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$