Kalkulus Contoh

$\frac{4}{\sqrt{x}} + e^{3 x} + \frac{2}{x}$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3.2

Pindahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 5

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 5.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 5.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 6

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 7

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

Langkah 9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 10

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

Langkah 11

Sederhanakan.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{u}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 12

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{3 x}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

Langkah 13

Susun kembali suku-suku.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} e^{3 x} + 2 \ln (| x |) + C$