Kalkulus Contoh

$\cos^{3} (2 x) \sin^{2} (2 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\cos^{3} (u_{1})$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1})}{2} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 2.2

Gabungkan $\frac{\cos^{3} (u_{1})}{2}$ dan $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{3} (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Faktorkan $\cos^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) \cos (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 5

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $1 - \sin^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - \sin^{2} (u_{1})) \cos (u_{1}) \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Kemudian $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Langkah 6.1.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int (1 - {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 7

Kalikan $(1 - {u_{2}}^{2}) {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Kalikan ${u_{2}}^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Langkah 8.2

Kalikan ${u_{2}}^{2}$ dengan ${u_{2}}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - ({u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2}) d u_{2}$

Langkah 8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2}$

Langkah 8.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Langkah 9

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Langkah 10

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C + \int - {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C - \int {u_{2}}^{4} d u_{2})$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{4}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C - (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} - \frac{1}{5} {u_{2}}^{5}) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin^{3} (u_{1}) - \frac{1}{5} \sin^{5} (u_{1})) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin^{3} (2 x) - \frac{1}{5} \sin^{5} (2 x)) + C$