Kalkulus Contoh

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Langkah 1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \cos^{2} (x) d x + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 2

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 6

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 7

Gabungkan $\cos (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 9

Integral dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \sin^{2} (x) d x$

Langkah 10

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \sin^{2} (x) d x$

Langkah 11

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\sin^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

Langkah 13

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Langkah 14

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Langkah 15

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 16

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Biarkan $u_{2} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 16.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 16.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 16.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 16.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 17

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 18

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Langkah 19

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 20

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 21

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 21.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 21.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Langkah 22

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Gabungkan $\sin (2 x)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 22.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 22.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 22.4

Kalikan $- \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 22.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 22.4.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 22.4.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 22.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 22.6

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 22.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 22.8

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 22.8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 23

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$