Kalkulus Contoh

$\cos^{2} (2 x)$

Langkah 1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Kemudian $d u_{1} = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{1} = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2

Gabungkan $\cos^{2} (u_{1})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Langkah 4

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (u_{1})$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Langkah 9

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 d u_{1}$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Langkah 9.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $2 u_{1}$ terhadap $u_{1}$ adalah $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Langkah 9.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 9.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Langkah 10

Gabungkan $\cos (u_{2})$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Langkah 11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Langkah 12

Integral dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Langkah 13

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 14

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Langkah 14.2

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Langkah 14.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 x))) + C$

Langkah 15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{1}{2} \sin (4 x)) + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (4 x)$ .

$\frac{1}{4} (2 x + \frac{\sin (4 x)}{2}) + C$

Langkah 15.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{4} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Langkah 15.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Langkah 15.3.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (x)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Langkah 15.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Langkah 15.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Langkah 15.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2} + C$

Langkah 15.5

Kalikan $\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (4 x)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{\sin (4 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Langkah 15.5.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8} + C$

Langkah 16

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) + C$