Kalkulus Contoh

$\cos^{2} (x y) = x + y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\cos^{2} (x y)) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\cos (x y)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\cos (x y)$ .

$2 \cos (x y) \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x y$ .

$2 \cos (x y) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 2.2.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x y$ .

$2 \cos (x y) (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 2.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \cos (x y) (\sin (x y) \frac{d}{d x} [x y])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.7

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y' + y)$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$- 2 \cos (x y) \sin (x y) (x y') - 2 \cos (x y) \sin (x y) y$

Langkah 2.8.2

Susun kembali suku-suku.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 + y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) y' - 2 y \cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) = 1 + y'$

Langkah 5.2

Kurangkan $y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - 2 y \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tambahkan $2 y \cos (x y) \sin (x y)$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y \cos (x y) \sin (x y)$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Tambahkan tanda kurung.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 y (\cos (x y) \sin (x y))$

Langkah 5.3.2.2

Susun kembali $2 y$ dan $\cos (x y) \sin (x y)$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) \sin (x y) (2 y)$

Langkah 5.3.2.3

Tambahkan tanda kurung.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \cos (x y) (\sin (x y) \cdot 2) y$

Langkah 5.3.2.4

Susun kembali $\cos (x y)$ dan $\sin (x y) \cdot 2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (x y) \cdot 2 \cos (x y) y$

Langkah 5.3.2.5

Susun kembali $\sin (x y)$ dan $2$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + 2 \cdot \sin (x y) \cos (x y) y$

Langkah 5.3.2.6

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + \sin (2 x y) y$

Langkah 5.3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $1 + \sin (2 x y) y$ .

$- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y) - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $- 2 x y' \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) - y' = 1 + y \sin (2 x y)$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1 = 1 + y \sin (2 x y)$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y)) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ dengan $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1) = 1 + y \sin (2 x y)$ dengan $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1} + \frac{y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 2 x \cos (x y) \sin (x y) - 1}$

Langkah 5.5.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x \cos (x y) \sin (x y)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1}$

Langkah 5.5.3.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)}$

Langkah 5.5.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x \cos (x y) \sin (x y)) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Langkah 5.5.3.5

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.5.1

Tulis kembali $- (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ sebagai $- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)$ .

$y' = \frac{1 + y \sin (2 x y)}{- 1 (2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1)}$

Langkah 5.5.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y \sin (2 x y)}{2 x \cos (x y) \sin (x y) + 1}$