Kalkulus Contoh

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 1$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.2.8

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y^{2}]}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y \frac{d}{d x} [y])}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.5

Kalikan $y^{2}$ dengan $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 1 \cdot 1 (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - (2 y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{0 - 2 (y y')}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.8

Kurangi $2 y y'$ dengan $0$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{{(y^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3.9

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.9.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.3.9.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y y'}{y^{4}}$

Langkah 2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $y$ dan $y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.1

Faktorkan $y$ dari $- 2 y y'$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y^{4}}$

Langkah 2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.10.2.1

Faktorkan $y$ dari $y^{4}$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Langkah 2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 x^{- 3} + \frac{y (- 2 y')}{y \cdot y^{3}}$

Langkah 2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 x^{- 3} + \frac{- 2 y'}{y^{3}}$

Langkah 2.3.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 2 x^{- 3} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Langkah 2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Langkah 2.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}}$

Langkah 3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{2 y'}{y^{3}} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $\frac{2}{x^{3}}$ ke kedua sisi persamaan.

$- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{2}{x^{3}}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 y'}{y^{3}}}{- 1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{2 y'}{y^{3}}}{1} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Langkah 5.2.2.2

Bagilah $\frac{2 y'}{y^{3}}$ dengan $1$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = \frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\frac{2}{x^{3}}}{- 1}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 5.2.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \frac{2}{x^{3}}$ sebagai $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} = - \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 5.3

Kalikan kedua ruas dengan $y^{3}$ .

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y'}{y^{3}} y^{3} = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Langkah 5.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' = - \frac{2}{x^{3}} y^{3}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Sederhanakan $- \frac{2}{x^{3}} y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{2}{x^{3}}$ .

$2 y' = - \frac{y^{3} \cdot 2}{x^{3}}$

Langkah 5.4.2.1.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{3}$ .

$2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $2 y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ dengan $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}}{2}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2 y^{3}}{x^{3}}$ ke dalam pembilangnya.

$y' = \frac{- 2 y^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.5.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- y^{3})}{x^{3}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.5.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y^{3}}{x^{3}}$

Langkah 5.5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x^{3}}$