Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{3}}{4} - 3 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{4} - 3 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \frac{d}{d x} x$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{3 x^{2}}{4} - 3$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} - 3 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{3 x^{2}}{4} = 3$

Langkah 2.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Langkah 2.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Sederhanakan $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1.1

Gabungkan.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Langkah 2.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (3 x^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Langkah 2.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Langkah 2.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Langkah 2.4.1.1.3.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{4}{3} \cdot 3$

Langkah 2.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 4$

Langkah 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 2.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 2.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 2.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 2.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 2.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $2, - 2$ .

$2, - 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = \frac{3 {(- 3)}^{2}}{4} - 3$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = \frac{3 \cdot 9}{4} - 3$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3$

Langkah 5.2.2

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f' (- 3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 5.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 5.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$f' (- 3) = \frac{27 - 12}{4}$

Langkah 5.2.5.2

Kurangi $12$ dengan $27$ .

$f' (- 3) = \frac{15}{4}$

Langkah 5.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $\frac{15}{4}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{4} - 3$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = \frac{3 \cdot 0}{4} - 3$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = \frac{0}{4} - 3$

Langkah 6.2.1.3

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$f' (0) = 0 - 3$

Langkah 6.2.2

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 2, 2)$ .

Menurun pada $(- 2, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Kalikan $3$ dengan ${(3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (3) = \frac{3 {(3)}^{2}}{4} - 3$

Langkah 7.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (3) = \frac{3^{1 + 2}}{4} - 3$

Langkah 7.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (3) = \frac{3^{3}}{4} - 3$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} - 3 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{4}{4}$ .

$f' (3) = \frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (3) = \frac{27 - 3 \cdot 4}{4}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$f' (3) = \frac{27 - 12}{4}$

Langkah 7.2.5.2

Kurangi $12$ dengan $27$ .

$f' (3) = \frac{15}{4}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{15}{4}$ .

$\frac{15}{4}$

Langkah 7.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $\frac{15}{4}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Menurun pada: $(- 2, 2)$

Langkah 9