Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 16$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 16$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.3.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.3.2.2

Tambahkan $- 32 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 1.1.6.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.5.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.6.5.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Langkah 1.1.6.5.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$32 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $32 x = 0$ dengan $32$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $32 x = 0$ dengan $32$ .

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $32$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{32}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $32$ .

$x = 0$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Atur ${(x + 4)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Atur ${(x + 4)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.2.2

Selesaikan ${(x + 4)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 3.2.2.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 3.2.3

Atur ${(x - 4)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Atur ${(x - 4)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 3.2.3.2

Selesaikan ${(x - 4)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.2.1

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 3.2.3.2.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 3.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 4, 4$

Langkah 3.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Langkah 4

Evaluasi $\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0^{2} - 16}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 - 16}$

Langkah 4.1.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $0$ .

$\frac{0}{- 16}$

Langkah 4.1.2.3

Bagilah $0$ dengan $- 16$ .

$0$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 4$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{(- 4)}^{2} - 16}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{16 - 16}$

Langkah 4.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$\frac{{(- 4)}^{2}}{0}$

Langkah 4.2.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{{(4)}^{2} - 16}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{16 - 16}$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{0}$

Langkah 4.3.2.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.4

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0)$

Langkah 5