Kalkulus Contoh

$2 {(x^{2} + 1)}^{4} + {(y^{2} + 3)}^{2} = 24$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (2 {(x^{2} + 1)}^{4} + {(y^{2} + 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (24)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(y^{2} + 3)}^{2}$ sebagai $(y^{2} + 3) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + (y^{2} + 3) (y^{2} + 3)]$

Langkah 2.2

Perluas $(y^{2} + 3) (y^{2} + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} (y^{2} + 3) + 3 (y^{2} + 3)]$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3 + 3 (y^{2} + 3)]$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{2 + 2} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Langkah 2.3.1.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + y^{2} \cdot 3 + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Langkah 2.3.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 3 \cdot y^{2} + 3 y^{2} + 3 \cdot 3]$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 3 y^{2} + 3 y^{2} + 9]$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $3 y^{2}$ dan $3 y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 6 y^{2} + 9]$

Langkah 2.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 {(x^{2} + 1)}^{4} + y^{4} + 6 y^{2} + 9$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 {(x^{2} + 1)}^{4}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$2 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.6

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 (4 {(x^{2} + 1)}^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.7

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$2 (8 {(x^{2} + 1)}^{3} x) + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.5.8

Kalikan $8$ dengan $2$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.6

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.6.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.6.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.6.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [6 y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.7

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.7.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.7.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ adalah $n {u_{3}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 u_{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.7.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $y$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.7.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 6 (2 y y') + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.7.4

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y' + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 2.8

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y' + 0$

Langkah 2.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Tambahkan $16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y'$ dan $0$ .

$16 {(x^{2} + 1)}^{3} x + 4 y^{3} y' + 12 y y'$

Langkah 2.9.2

Susun kembali suku-suku.

$16 x {(x^{2} + 1)}^{3} + 4 y^{3} y' + 12 y y'$

Langkah 3

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$16 x {(x^{2} + 1)}^{3} + 4 y^{3} y' + 12 y y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 y^{3} y' + 12 y y' = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Langkah 5.2

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y^{3} y' + 12 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y^{3} y'$ .

$4 y y' y^{2} + 12 y y' = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $4 y y'$ dari $12 y y'$ .

$4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 3 = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $4 y y'$ dari $4 y y' y^{2} + 4 y y' \cdot 3$ .

$4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ dengan $4 y (y^{2} + 3)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $4 y y' (y^{2} + 3) = - 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ dengan $4 y (y^{2} + 3)$ .

$\frac{4 y y' (y^{2} + 3)}{4 y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y y' (y^{2} + 3)}{4 y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y y' (y^{2} + 3)}{y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y y' (y^{2} + 3)}{y (y^{2} + 3)} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (y^{2} + 3)}{y^{2} + 3} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2} + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (y^{2} + 3)}{y^{2} + 3} = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{4 y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $- 16 x {(x^{2} + 1)}^{3}$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 y (y^{2} + 3)$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 (y (y^{2} + 3))}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4 (- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3})}{4 (y (y^{2} + 3))}$

Langkah 5.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- 4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$

Langkah 5.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x {(x^{2} + 1)}^{3}}{y (y^{2} + 3)}$