Kalkulus Contoh

$y^{3} e^{x} + x = y^{6} x$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y^{3} e^{x} + x) = \frac{d}{d x} (y^{6} x)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} e^{x} + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = y^{3}$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{x}$ .

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Susun kembali suku-suku.

$e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

$y^{6} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y^{6} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Langkah 3.2.2

Kalikan $y^{6}$ dengan $1$ .

$y^{6} + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{6}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$y^{6} + x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$y^{6} + x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$y^{6} + x (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 3.4

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$y^{6} + 6 \cdot x y^{5} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y^{6} + 6 x y^{5} y'$

Langkah 3.6

Susun kembali suku-suku.

$y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$ .

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

Langkah 5.2

Kurangkan $6 y^{5} x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6}$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $y^{3} e^{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x}$

Langkah 5.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Langkah 5.4

Faktorkan $3 y^{2} y'$ dari $3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $3 y^{2} y'$ dari $3 y^{2} y' e^{x}$ .

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $3 y^{2} y'$ dari $- 6 y^{5} x y'$ .

$3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $3 y^{2} y'$ dari $3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x)$ .

$3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ dengan $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ dengan $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$\frac{3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x} - 2 y^{3} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{6}$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{6}$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.1.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $y^{3}$ dan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $- y^{3} e^{x}$ .

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1.2.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ .

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 5.5.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$