Kalkulus Contoh

$y = (x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2} - 3 x + 3$ dan $g (x) = e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x}{3}}] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = \frac{5 x}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{5 x}{3}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{5 x}{3}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) (e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{3}]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $\frac{5}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{5 x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Langkah 3.3.2

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} \cdot 1 + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Langkah 3.3.4

Kalikan $x^{2} - 3 x + 3$ dengan $1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]$

Langkah 3.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 3 x + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 3.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 3.3.7

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 3.3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 3.3.9

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [3])$

Langkah 3.3.10

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3 + 0)$

Langkah 3.3.11

Tambahkan $2 x - 3$ dan $0$ .

$(x^{2} - 3 x + 3) \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x - 3)$

Langkah 3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.3

Kalikan $5$ dengan $- 3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x \frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.4

Gabungkan $x$ dan $\frac{- 15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 15$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.5.1

Faktorkan $3$ dari $x (- 15 e^{\frac{5 x}{3}})$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 (1)} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{3 (x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}))}{3 \cdot 1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + \frac{x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})}{1} + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.5.2.4

Bagilah $x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}})$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 3 \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.6

Gabungkan $3$ dan $\frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.7

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{15 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $15$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.8.1

Faktorkan $3$ dari $15 e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 (1)} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{3 (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3 \cdot 1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + \frac{5 e^{\frac{5 x}{3}}}{1} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.8.2.4

Bagilah $5 e^{\frac{5 x}{3}}$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) + e^{\frac{5 x}{3}} \cdot - 3$

Langkah 3.4.3.9

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} + x (- 5 e^{\frac{5 x}{3}}) + 5 e^{\frac{5 x}{3}} + e^{\frac{5 x}{3}} (2 x) - 3 \cdot e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 3.4.3.10

Pindahkan $e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 5 \cdot x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 3.4.3.11

Tambahkan $- 5 x e^{\frac{5 x}{3}}$ dan $2 x e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 5 e^{\frac{5 x}{3}} - 3 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 3.4.3.12

Kurangi $3 e^{\frac{5 x}{3}}$ dengan $5 e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 3.4.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 3.4.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1.1

Tulis kembali.

$\frac{x^{2} (5 e^{\frac{5 x}{3}})}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 3.4.5.1.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{x^{2} \cdot 5 e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 3.4.5.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 3.4.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 e^{\frac{5 x}{3}} x + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} e^{\frac{5 x}{3}}}{3} - 3 x e^{\frac{5 x}{3}} + 2 e^{\frac{5 x}{3}}$