Kalkulus Contoh

$\sin (6 x + 3 y) = x y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\sin (6 x + 3 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 6 x + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $6 x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x + 3 y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x + 3 y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $6 x + 3 y$ .

$\cos (6 x + 3 y) \frac{d}{d x} [6 x + 3 y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x + 3 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\cos (6 x + 3 y) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.2.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.2.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Langkah 2.2.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y')$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Langkah 3.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x y' + y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y') = x y' + y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan $\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y')$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + \cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y') = x y' + y$

Langkah 5.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\cos (6 x + 3 y) (6 + 3 y') = x y' + y$

Langkah 5.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\cos (6 x + 3 y) \cdot 6 + \cos (6 x + 3 y) (3 y') = x y' + y$

Langkah 5.1.1.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.4.1

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $\cos (6 x + 3 y)$ .

$6 \cdot \cos (6 x + 3 y) + \cos (6 x + 3 y) (3 y') = x y' + y$

Langkah 5.1.1.4.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$6 \cdot \cos (6 x + 3 y) + 3 \cos (6 x + 3 y) y' = x y' + y$

Langkah 5.1.1.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $6 \cos (6 x + 3 y) + 3 \cos (6 x + 3 y) y'$ .

$6 \cos (6 x + 3 y) + 3 y' \cos (6 x + 3 y) = x y' + y$

Langkah 5.2

Kurangkan $x y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 \cos (6 x + 3 y) + 3 y' \cos (6 x + 3 y) - x y' = y$

Langkah 5.3

Kurangkan $6 \cos (6 x + 3 y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y' \cos (6 x + 3 y) - x y' = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $3 y' \cos (6 x + 3 y) - x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $3 y' \cos (6 x + 3 y)$ .

$y' (3 \cos (6 x + 3 y)) - x y' = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y'$ dari $- x y'$ .

$y' (3 \cos (6 x + 3 y)) + y' (- x) = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (3 \cos (6 x + 3 y)) + y' (- x)$ .

$y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x) = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x) = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$ dengan $3 \cos (6 x + 3 y) - x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x) = y - 6 \cos (6 x + 3 y)$ dengan $3 \cos (6 x + 3 y) - x$ .

$\frac{y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} = \frac{y}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} + \frac{- 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 \cos (6 x + 3 y) - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 \cos (6 x + 3 y) - x)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} = \frac{y}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} + \frac{- 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} + \frac{- 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y}{3 \cos (6 x + 3 y) - x} - \frac{6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Langkah 5.5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y - 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 6 \cos (6 x + 3 y)}{3 \cos (6 x + 3 y) - x}$