Kalkulus Contoh

$\ln (x) + \ln (y) = 9 x - 9 y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\ln (x) + \ln (y)) = \frac{d}{d x} (9 x - 9 y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (x) + \ln (y)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Langkah 2.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (y)]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} y'$

Langkah 2.3.3

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 x - 9 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9 x$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [- 9 y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 y$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 - 9 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$9 - 9 y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} = 9 - 9 y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $9 y'$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 9 y' = 9$

Langkah 5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, y, 1, 1$

Langkah 5.2.2

Since $x, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, y^{1}$ .

Langkah 5.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.2.5

KPK dari $1, 1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 5.2.6

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.2.7

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.2.8

KPK dari $x^{1}, y^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x y$

Langkah 5.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 9 y' = 9$ dengan $x y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x} + \frac{y'}{y} + 9 y' = 9$ dengan $x y$ .

$\frac{1}{x} (x y) + \frac{y'}{y} (x y) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) + \frac{y'}{y} (x y) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} (x y) + \frac{y'}{y} (x y) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

Langkah 5.3.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + \frac{y'}{y} (x y) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

Langkah 5.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $x y$ .

$y + \frac{y'}{y} (y x) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

Langkah 5.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + \frac{y'}{y} (y x) + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

Langkah 5.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + y' x + 9 y' (x y) = 9 (x y)$

$y + y' x + 9 y' x y = 9 (x y)$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Hilangkan tanda kurung.

$y + y' x + 9 y' x y = 9 x y$

Langkah 5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' x + 9 y' x y = 9 x y - y$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $y' x$ dari $y' x + 9 y' x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Faktorkan $y' x$ dari $y' x$ .

$y' x \cdot 1 + 9 y' x y = 9 x y - y$

Langkah 5.4.2.2

Faktorkan $y' x$ dari $9 y' x y$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (9 y) = 9 x y - y$

Langkah 5.4.2.3

Faktorkan $y' x$ dari $y' x \cdot 1 + y' x (9 y)$ .

$y' x (1 + 9 y) = 9 x y - y$

Langkah 5.4.3

Bagi setiap suku pada $y' x (1 + 9 y) = 9 x y - y$ dengan $x (1 + 9 y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Bagilah setiap suku di $y' x (1 + 9 y) = 9 x y - y$ dengan $x (1 + 9 y)$ .

$\frac{y' x (1 + 9 y)}{x (1 + 9 y)} = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x (1 + 9 y)}{x (1 + 9 y)} = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (1 + 9 y)}{1 + 9 y} = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + 9 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (1 + 9 y)}{1 + 9 y} = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{9 x y}{x (1 + 9 y)} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{9 y}{1 + 9 y} + \frac{- y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{9 y}{1 + 9 y} - \frac{y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.2

Untuk menuliskan $\frac{9 y}{1 + 9 y}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{9 y}{1 + 9 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(1 + 9 y) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.3.1

Kalikan $\frac{9 y}{1 + 9 y}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{9 y x}{(1 + 9 y) x} - \frac{y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(1 + 9 y) x$ .

$y' = \frac{9 y x}{x (1 + 9 y)} - \frac{y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{9 y x - y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.5

Faktorkan $y$ dari $9 y x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $9 y x$ .

$y' = \frac{y (9 x) - y}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.5.2

Faktorkan $y$ dari $- y$ .

$y' = \frac{y (9 x) + y \cdot - 1}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 5.4.3.3.5.3

Faktorkan $y$ dari $y (9 x) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (9 x - 1)}{x (1 + 9 y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (9 x - 1)}{x (1 + 9 y)}$