Kalkulus Contoh

$x y (2 x + 3 y) = 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x y (2 x + 3 y)) = \frac{d}{d x} (2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x y$ dan $g (x) = 2 x + 3 y$ .

$x y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y] + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 3 y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$x y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x y (2 + \frac{d}{d x} [3 y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$x y (2 + 3 \frac{d}{d x} [y]) + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.7

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$x y (2 + 3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y)$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + (2 x + 3 y) (x y' + y)$

Langkah 2.8.2

Terapkan sifat distributif.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + (2 x + 3 y) (x y') + (2 x + 3 y) y$

Langkah 2.8.3

Terapkan sifat distributif.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + (2 x + 3 y) y$

Langkah 2.8.4

Terapkan sifat distributif.

$x y \cdot 2 + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Langkah 2.8.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.5.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x y$ .

$2 \cdot (x y) + x y (3 y') + 2 x (x y') + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Langkah 2.8.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 (x^{1} x) y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Langkah 2.8.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 (x^{1} x^{1}) y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Langkah 2.8.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{1 + 1} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Langkah 2.8.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y \cdot y$

Langkah 2.8.5.6

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 (y^{1} y)$

Langkah 2.8.5.7

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 (y^{1} y^{1})$

Langkah 2.8.5.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y^{1 + 1}$

Langkah 2.8.5.9

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 x y + x y (3 y') + 2 x^{2} y' + 3 y (x y') + 2 x y + 3 y^{2}$

Langkah 2.8.5.10

Pindahkan $y$ .

$2 x y + 3 \cdot x y y' + 3 x y y' + 2 x^{2} y' + 2 x y + 3 y^{2}$

Langkah 2.8.5.11

Tambahkan $3 x y y'$ dan $3 x y y'$ .

$2 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' + 2 x y + 3 y^{2}$

Langkah 2.8.5.12

Tambahkan $2 x y$ dan $2 x y$ .

$4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' + 3 y^{2}$

Langkah 2.8.6

Susun kembali suku-suku.

$3 y^{2} + 4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y'$

Langkah 3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 y^{2} + 4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $3 y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x y + 6 x y y' + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2}$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $4 x y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x y y' + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2} - 4 x y$

Langkah 5.2

Faktorkan $2 x y'$ dari $6 x y y' + 2 x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $2 x y'$ dari $6 x y y'$ .

$2 x y' (3 y) + 2 x^{2} y' = - 3 y^{2} - 4 x y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x^{2} y'$ .

$2 x y' (3 y) + 2 x y' x = - 3 y^{2} - 4 x y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x y' (3 y) + 2 x y' x$ .

$2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$ dengan $2 x (3 y + x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x y' (3 y + x) = - 3 y^{2} - 4 x y$ dengan $2 x (3 y + x)$ .

$\frac{2 x y' (3 y + x)}{2 x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x y' (3 y + x)}{2 x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y' (3 y + x)}{x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (3 y + x)}{x (3 y + x)} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y + x)}{3 y + x} = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 4 x y}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 x y$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (3 y + x)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x (3 y + x))}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{2 (- 2 x y)}{2 (x (3 y + x))}$

Langkah 5.3.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 x y}{x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} + \frac{- 2 y}{3 y + x}$

Langkah 5.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y}{3 y + x}$

Langkah 5.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{2 y}{3 y + x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y}{3 y + x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Langkah 5.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2 x (3 y + x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Kalikan $\frac{2 y}{3 y + x}$ dengan $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y (2 x)}{(3 y + x) (2 x)}$

Langkah 5.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(3 y + x) (2 x)$ .

$y' = - \frac{3 y^{2}}{2 x (3 y + x)} - \frac{2 y (2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 3 y^{2} - 2 y (2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $- 3 y^{2} - 2 y \cdot 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1.1

Faktorkan $y$ dari $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 3 y) - 2 y \cdot 2 x}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.5.1.2

Faktorkan $y$ dari $- 2 y \cdot 2 x$ .

$y' = \frac{y (- 3 y) + y (- 2 \cdot 2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.5.1.3

Faktorkan $y$ dari $y (- 3 y) + y (- 2 \cdot 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 3 y - 2 \cdot 2 x)}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.5.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$y' = \frac{y (- 3 y - 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 y$ .

$y' = \frac{y (- (3 y) - 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.6.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 x$ .

$y' = \frac{y (- (3 y) - (4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 y) - (4 x)$ .

$y' = \frac{y (- (3 y + 4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.6.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.6.4.1

Tulis kembali $- (3 y + 4 x)$ sebagai $- 1 (3 y + 4 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (3 y + 4 x))}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 5.3.3.6.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y (3 y + 4 x)}{2 x (3 y + x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (3 y + 4 x)}{2 x (3 y + x)}$