Kalkulus Contoh

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 \sqrt{x} = 0$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (0)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 y^{2} - \sin (x y) - 5 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 y y' + \frac{d}{d x} [- \sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x y)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$6 y y' - \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x y$ .

$6 y y' - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3.2.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$6 y y' - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x y$ .

$6 y y' - (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 y y' - (\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.3.6

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Langkah 3.4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Langkah 3.4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 3.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Langkah 3.4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Langkah 3.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 3.4.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 3.4.9

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Langkah 3.4.10

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.4.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$6 y y' - \cos (x y) (x y' + y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$6 y y' - \cos (x y) (x y') - \cos (x y) y - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.5.2

Susun kembali suku-suku.

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4

Karena $0$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $0$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $6 y y' - x \cos (x y) y' - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$6 y y' - x y' \cos (x y) - y \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 6.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $y \cos (x y)$ ke kedua sisi persamaan.

$6 y y' - x y' \cos (x y) - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} = y \cos (x y)$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ ke kedua sisi persamaan.

$6 y y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3

Faktorkan $y'$ dari $6 y y' - x y' \cos (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $y'$ dari $6 y y'$ .

$y' (6 y) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (6 y) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (6 y) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.4

Bagi setiap suku pada $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $6 y - x \cos (x y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (6 y - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $6 y - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6 y - x \cos (x y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (6 y - x \cos (x y))}{6 y - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Langkah 6.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{6 y - x \cos (x y)}$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$

Langkah 6.4.3.1.2

Kalikan $\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{6 y - x \cos (x y)}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Langkah 6.4.3.2

Untuk menuliskan $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Langkah 6.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(6 y - x \cos (x y)) \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.1

Kalikan $\frac{y \cos (x y)}{6 y - x \cos (x y)}$ dengan $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Langkah 6.4.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(6 y - x \cos (x y)) (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Langkah 6.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y \cos (x y) (2 x^{\frac{1}{2}}) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Langkah 6.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.5.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y' = \frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Langkah 6.4.3.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{2 y \cos (x y) x^{\frac{1}{2}} + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$ .

$y' = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y x^{\frac{1}{2}} \cos (x y) + 5}{2 x^{\frac{1}{2}} (6 y - x \cos (x y))}$