Kalkulus Contoh

$3 x^{2} y^{2} = 4 x^{2} - 4 x y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} - 4 x y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$3 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$3 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Langkah 2.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$3 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

Langkah 2.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (2 x^{2} y y') + 3 (2 y^{2} x)$

Langkah 2.8.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 (x^{2} y y') + 3 (2 y^{2} x)$

Langkah 2.8.2.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x^{2} y y' + 6 y^{2} x$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - 4 x y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Langkah 3.2.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x y$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 x - 4 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$8 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 x - 4 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 3.3.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$8 x - 4 (x y' + y)$

Langkah 3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$8 x - 4 (x y') - 4 y$

Langkah 3.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$8 x - 4 x y' - 4 y$

Langkah 3.4.3

Susun kembali suku-suku.

$- 4 x y' + 8 x - 4 y$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 x^{2} y y' + 6 y^{2} x = - 4 x y' + 8 x - 4 y$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tambahkan $4 x y'$ ke kedua sisi persamaan.

$6 x^{2} y y' + 6 y^{2} x + 4 x y' = 8 x - 4 y$

Langkah 5.2

Kurangkan $6 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x^{2} y y' + 4 x y' = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$

Langkah 5.3

Faktorkan $2 x y'$ dari $6 x^{2} y y' + 4 x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Faktorkan $2 x y'$ dari $6 x^{2} y y'$ .

$2 x y' (3 x y) + 4 x y' = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $2 x y'$ dari $4 x y'$ .

$2 x y' (3 x y) + 2 x y' \cdot 2 = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $2 x y'$ dari $2 x y' (3 x y) + 2 x y' \cdot 2$ .

$2 x y' (3 x y + 2) = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $2 x y' (3 x y + 2) = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$ dengan $2 x (3 x y + 2)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 x y' (3 x y + 2) = 8 x - 4 y - 6 y^{2} x$ dengan $2 x (3 x y + 2)$ .

$\frac{2 x y' (3 x y + 2)}{2 x (3 x y + 2)} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x y' (3 x y + 2)}{2 x (3 x y + 2)} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y' (3 x y + 2)}{x (3 x y + 2)} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y' (3 x y + 2)}{x (3 x y + 2)} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 x y + 2)}{3 x y + 2} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 x y + 2)}{3 x y + 2} = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.2.3.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{8 x}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $8 x$ .

$y' = \frac{2 (4 x)}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (3 x y + 2)$ .

$y' = \frac{2 (4 x)}{2 (x (3 x y + 2))} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (4 x)}{2 (x (3 x y + 2))} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{4 x}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4 x}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{- 4 y}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 y$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (3 x y + 2)$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (x (3 x y + 2))} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (x (3 x y + 2))} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} + \frac{- 2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 6 y^{2} x}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $- 6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 6 y^{2} x$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{2 (- 3 y^{2} x)}{2 x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 x (3 x y + 2)$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{2 (- 3 y^{2} x)}{2 (x (3 x y + 2))}$

Langkah 5.4.3.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{2 (- 3 y^{2} x)}{2 (x (3 x y + 2))}$

Langkah 5.4.3.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.2

Untuk menuliskan $\frac{4}{3 x y + 2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{4}{3 x y + 2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(3 x y + 2) x$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.3.1

Kalikan $\frac{4}{3 x y + 2}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{4 x}{(3 x y + 2) x} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(3 x y + 2) x$ .

$y' = \frac{4 x}{x (3 x y + 2)} - \frac{2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{4 x - 2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.5

Faktorkan $2$ dari $4 x - 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $4 x$ .

$y' = \frac{2 (2 x) - 2 y}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (2 x) + 2 (- y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.5.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x) + 2 (- y)$ .

$y' = \frac{2 (2 x - y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$

Langkah 5.4.3.6

Untuk menuliskan $- \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 (2 x - y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 2} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.4.3.7

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (3 x y + 2)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.7.1

Kalikan $\frac{3 y^{2}}{3 x y + 2}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{2 (2 x - y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2} x}{(3 x y + 2) x}$

Langkah 5.4.3.7.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(3 x y + 2) x$ .

$y' = \frac{2 (2 x - y)}{x (3 x y + 2)} - \frac{3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 (2 x - y) - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.9.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = \frac{2 (2 x) + 2 (- y) - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.9.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y' = \frac{4 x + 2 (- y) - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Langkah 5.4.3.9.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y' = \frac{4 x - 2 y - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - 2 y - 3 y^{2} x}{x (3 x y + 2)}$