Kalkulus Contoh

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x^{2} - 5 x + 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 5 x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 3.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 3.2.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 3.2.5

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 3.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 3.2.7

Kalikan $- 5$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

Langkah 3.2.8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

Langkah 3.2.9

Tambahkan $6 x - 5$ dan $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

Langkah 3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

Langkah 3.3.2

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Faktorkan $- 5$ dari $- 5 x$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

Langkah 3.3.2.1.2

Tulis kembali $- 5$ sebagai $- 2$ ditambah $- 3$

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

Langkah 3.3.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

Langkah 3.3.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

Langkah 3.3.2.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

Langkah 3.3.2.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 2$ .

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Langkah 3.3.3

Kalikan $6 x - 5$ dengan $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ .

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$