Kalkulus Contoh

$r = \sin (θ^{2}) \cos (6 θ)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\sin (θ^{2}) \cos (6 θ))$

Langkah 2

Turunan dari $r$ terhadap $θ$ adalah $r'$ .

$r'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ adalah $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ di mana $f (θ) = \sin (θ^{2})$ dan $g (θ) = \cos (6 θ)$ .

$\sin (θ^{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (6 θ)] + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = \cos (θ)$ dan $g (θ) = 6 θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $6 θ$ .

$\sin (θ^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$\sin (θ^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $6 θ$ .

$\sin (θ^{2}) (- \sin (6 θ) \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

Langkah 3.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $6 θ$ terhadap $θ$ adalah $6 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$\sin (θ^{2}) (- \sin (6 θ) (6 \frac{d}{d θ} [θ])) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

Langkah 3.3.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ) \frac{d}{d θ} [θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ) \cdot 1) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

Langkah 3.3.4

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = \sin (θ)$ dan $g (θ) = θ^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $θ^{2}$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

Langkah 3.4.2

Turunan dari $\sin (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\cos (u_{2})$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $θ^{2}$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\cos (θ^{2}) \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) \cos (θ^{2}) (2 θ)$

Langkah 3.5.2

Susun kembali suku-suku.

$- 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$r' = - 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$

Langkah 5

Ganti $r'$ dengan $\frac{d r}{d θ}$ .

$\frac{d r}{d θ} = - 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$