Kalkulus Contoh

$x \ln (y) + 6 y = 3 x^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 6 y) = \frac{d}{d x} (3 x^{3})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \ln (y) + 6 y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [6 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2.6

Gabungkan $x$ dan $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $\ln (y)$ dengan $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [6 y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 y$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 6 y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 (3 x^{2})$

Langkah 3.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 x^{2}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, y, 1, 1$

Langkah 5.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$ dengan $y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $6 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 9 x^{2}$ dengan $y$ .

$6 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$6 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$6 y' y + x y' + \ln (y) y = 9 x^{2} y$

Langkah 5.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $6 y' y + x y' + \ln (y) y$ .

$6 y' y + x y' + y \ln (y) = 9 x^{2} y$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $y \ln (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 y' y + x y' = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $6 y' y + x y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y'$ dari $6 y' y$ .

$y' (6 y) + x (y') = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y'$ dari $x y'$ .

$y' (6 y) + y' (x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (6 y) + y' (x)$ .

$y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$ dengan $6 y + x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (6 y + x) = 9 x^{2} y - y \ln (y)$ dengan $6 y + x$ .

$\frac{y' (6 y + x)}{6 y + x} = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6 y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (6 y + x)}{6 y + x} = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{9 x^{2} y}{6 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{6 y + x}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{9 x^{2} y - y \ln (y)}{6 y + x}$

Langkah 5.3.3.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.2.1

Faktorkan $y$ dari $9 x^{2} y - y \ln (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $9 x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2}) - y \ln (y)}{6 y + x}$

Langkah 5.3.3.3.2.1.2

Faktorkan $y$ dari $- y \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{6 y + x}$

Langkah 5.3.3.3.2.1.3

Faktorkan $y$ dari $y (9 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2} - 1 \ln (y))}{6 y + x}$

Langkah 5.3.3.3.2.2

Tulis kembali $- 1 \ln (y)$ sebagai $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (9 x^{2} - \ln (y))}{6 y + x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (9 x^{2} - \ln (y))}{6 y + x}$