Kalkulus Contoh

$\cos (r) + \cot (x) = e^{r x}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\cos (r) + \cot (x)) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (r) + \cot (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (r)] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (r)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = r$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $r$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Langkah 2.2.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Langkah 2.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $r$ .

$- \sin (r) \frac{d}{d x} [r] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [r]$ sebagai $r'$ .

$- \sin (r) r' + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Langkah 2.3

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = r x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = r$ dan $g (x) = x$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [r])$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [r])$

Langkah 3.3.2

Kalikan $r$ dengan $1$ .

$e^{r x} (r + x \frac{d}{d x} [r])$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [r]$ sebagai $r'$ .

$e^{r x} (r + x r')$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{r x} r + e^{r x} (x r')$

Langkah 3.5.2

Susun kembali suku-suku.

$e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 5

Selesaikan $r'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 5.1.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 5.1.1.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \sin (r) r' - \frac{1}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 5.1.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- \sin (r) r' - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 5.1.1.2.2

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ sebagai ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- \sin (r) r' - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 5.1.1.2.3

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$- \sin (r) r' - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 5.1.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \sin (r) r' - \csc^{2} (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = e^{r x} r + e^{r x} x r'$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{r x} r + e^{r x} x r'$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) = r e^{r x} + x r' e^{r x}$

Langkah 5.3

Pindahkan semua suku yang mengandung $r'$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $x r' e^{r x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Langkah 5.3.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- r' \sin (r) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- r' \sin (r) - \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Langkah 5.3.3.2

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ sebagai ${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ .

$- r' \sin (r) - {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Langkah 5.3.3.3

Konversikan dari $\frac{1}{\sin (x)}$ ke $\csc (x)$ .

$- r' \sin (r) - \csc^{2} (x) - x r' e^{r x} = r e^{r x}$

Langkah 5.4

Tambahkan $\csc^{2} (x)$ ke kedua sisi persamaan.

$- r' \sin (r) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Langkah 5.5

Faktorkan $r'$ dari $- r' \sin (r) - x r' e^{r x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $r'$ dari $- r' \sin (r)$ .

$r' (- 1 \sin (r)) - x r' e^{r x} = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $r'$ dari $- x r' e^{r x}$ .

$r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Langkah 5.5.3

Faktorkan $r'$ dari $r' (- 1 \sin (r)) + r' (- x e^{r x})$ .

$r' (- 1 \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Langkah 5.6

Tulis kembali $- 1 \sin (r)$ sebagai $- \sin (r)$ .

$r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$

Langkah 5.7

Bagi setiap suku pada $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ dengan $- \sin (r) - x e^{r x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Bagilah setiap suku di $r' (- \sin (r) - x e^{r x}) = r e^{r x} + \csc^{2} (x)$ dengan $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- \sin (r) - x e^{r x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{r' (- \sin (r) - x e^{r x})}{- \sin (r) - x e^{r x}} = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Langkah 5.7.2.1.2

Bagilah $r'$ dengan $1$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\csc^{2} (x)}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Langkah 5.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1.1.1

Tulis kembali $\csc (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Langkah 5.7.3.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Langkah 5.7.3.1.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{\frac{1}{\sin^{2} (x)}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Langkah 5.7.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$

Langkah 5.7.3.1.3

Kalikan $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ dengan $\frac{1}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Langkah 5.7.3.2

Untuk menuliskan $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Langkah 5.7.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.3.1

Kalikan $\frac{r e^{r x}}{- \sin (r) - x e^{r x}}$ dengan $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Langkah 5.7.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(- \sin (r) - x e^{r x}) \sin^{2} (x)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})} + \frac{1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Langkah 5.7.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- \sin (r) - x e^{r x})}$

Langkah 5.7.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- \sin (r)$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - x e^{r x})}$

Langkah 5.7.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x e^{r x}$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r)) - (x e^{r x}))}$

Langkah 5.7.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $- (\sin (r)) - (x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Langkah 5.7.3.8

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.8.1

Tulis kembali $- (\sin (r) + x e^{r x})$ sebagai $- 1 (\sin (r) + x e^{r x})$ .

$r' = \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (- 1 (\sin (r) + x e^{r x}))}$

Langkah 5.7.3.8.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r' = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$

Langkah 6

Ganti $r'$ dengan $\frac{d r}{d x}$ .

$\frac{d r}{d x} = - \frac{r e^{r x} \sin^{2} (x) + 1}{\sin^{2} (x) (\sin (r) + x e^{r x})}$