Kalkulus Contoh

$x \ln (y) + y^{3} = \ln (x)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x \ln (y) + y^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $\frac{1}{y}$ dan $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.6

Gabungkan $x$ dan $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.2.7

Kalikan $\ln (y)$ dengan $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $y$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 3 y^{2} y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

Langkah 3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, y, 1, x$

Langkah 5.1.2

Since $1, y, 1, x$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{1}, x^{1}$ .

Langkah 5.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 5.1.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 5.1.5

KPK dari $1, 1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 5.1.6

Faktor untuk $y^{1}$ adalah $y$ itu sendiri.

$y^{1} = y$

$y$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.1.7

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 5.1.8

KPK dari $y^{1}, x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$y x$

Langkah 5.2

Kalikan setiap suku pada $3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$ dengan $y x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan setiap suku dalam $3 y^{2} y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = \frac{1}{x}$ dengan $y x$ .

$3 y^{2} y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Pindahkan $y$ .

$3 (y \cdot y^{2}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$3 (y^{1} y^{2}) y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 y^{1 + 2} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 y^{3} y' x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 y^{3} y' x + x y' x + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.5

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$3 y^{3} y' x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.1.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 y^{3} y' x + y' x^{2} + \ln (y) (y x)$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (y x)$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $y x$ .

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (x y)$

Langkah 5.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = \frac{1}{x} (x y)$

Langkah 5.2.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} + y x \ln (y) = y$

Langkah 5.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kurangkan $y x \ln (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 y^{3} y' x + y' x^{2} = y - y x \ln (y)$

Langkah 5.3.2

Faktorkan $y' x$ dari $3 y^{3} y' x + y' x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Faktorkan $y' x$ dari $3 y^{3} y' x$ .

$y' x (3 y^{3}) + y' x^{2} = y - y x \ln (y)$

Langkah 5.3.2.2

Faktorkan $y' x$ dari $y' x^{2}$ .

$y' x (3 y^{3}) + y' x \cdot x = y - y x \ln (y)$

Langkah 5.3.2.3

Faktorkan $y' x$ dari $y' x (3 y^{3}) + y' x \cdot x$ .

$y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$

Langkah 5.3.3

Bagi setiap suku pada $y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$ dengan $x (3 y^{3} + x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Bagilah setiap suku di $y' x (3 y^{3} + x) = y - y x \ln (y)$ dengan $x (3 y^{3} + x)$ .

$\frac{y' x (3 y^{3} + x)}{x (3 y^{3} + x)} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' x (3 y^{3} + x)}{x (3 y^{3} + x)} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' (3 y^{3} + x)}{3 y^{3} + x} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3 y^{3} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (3 y^{3} + x)}{3 y^{3} + x} = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} + \frac{- y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$

Langkah 5.3.3.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$

Langkah 5.3.3.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x} \cdot \frac{x}{x}$

Langkah 5.3.3.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $x (3 y^{3} + x)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.3.1

Kalikan $\frac{y \ln (y)}{3 y^{3} + x}$ dengan $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(3 y^{3} + x) x}$

Langkah 5.3.3.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(3 y^{3} + x) x$ .

$y' = \frac{y}{x (3 y^{3} + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{y - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.5.1

Faktorkan $y$ dari $y - y \ln (y) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.3.5.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{y^{1} - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3.5.1.2

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 - y \ln (y) x}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3.5.1.3

Faktorkan $y$ dari $- y \ln (y) x$ .

$y' = \frac{y \cdot 1 + y (- 1 \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3.5.1.4

Faktorkan $y$ dari $y \cdot 1 + y (- 1 \ln (y) x)$ .

$y' = \frac{y (1 - 1 \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3.5.2

Tulis kembali $- 1 \ln (y)$ sebagai $- \ln (y)$ .

$y' = \frac{y (1 - \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 5.3.3.3.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{y (1 - \ln (y) x)}{x (3 y^{3} + x)}$ .

$y' = \frac{y (1 - x \ln (y))}{x (3 y^{3} + x)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x \ln (y))}{x (3 y^{3} + x)}$