Kalkulus Contoh

$y = \ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}})$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$\frac{1}{\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Langkah 3.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}$ .

$1 \frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Langkah 3.3

Kalikan $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ dengan $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{1 + e^{2 x}}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{2 x}$ dan $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}] - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} (2 \cdot 1) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{(1 + e^{2 x}) e^{2 x} \cdot 2 - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.6.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $(1 + e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 \cdot ((1 + e^{2 x}) e^{2 x}) - e^{2 x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.6.4

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + e^{2 x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.6.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.6.6

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{3}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ adalah $a^{u_{3}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u_{3}$ dengan $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.8

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{2 x + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.9

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.10

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - e^{4 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.11

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}} \cdot \frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.13.2

Kalikan $\frac{1 + e^{2 x}}{e^{2 x}}$ dengan $\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Langkah 3.14

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.14.1

Faktorkan $1 + e^{2 x}$ dari $e^{2 x} {(1 + e^{2 x})}^{2}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

Langkah 3.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + e^{2 x}) (2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x})}{(1 + e^{2 x}) (e^{2 x} (1 + e^{2 x}))}$

Langkah 3.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 (1 + e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Langkah 3.15

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 e^{2 x}) e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Langkah 3.15.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} (1 + e^{2 x})}$

Langkah 3.15.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 \cdot 1 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Langkah 3.15.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.4.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x} e^{2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Langkah 3.15.4.1.2

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.4.1.2.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (e^{2 x} e^{2 x}) - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Langkah 3.15.4.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{2 x + 2 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Langkah 3.15.4.1.2.3

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Langkah 3.15.4.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 e^{2 x} + 2 e^{4 x} - 2 e^{4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.4.2.1

Kurangi $2 e^{4 x}$ dengan $2 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 0}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Langkah 3.15.4.2.2

Tambahkan $2 e^{2 x}$ dan $0$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} \cdot 1 + e^{2 x} e^{2 x}}$

Langkah 3.15.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.5.1

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x} e^{2 x}}$

Langkah 3.15.5.2

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.15.5.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{2 x + 2 x}}$

Langkah 3.15.5.2.2

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + e^{4 x}}$